Sabe-se que dois pontos A e B estão separados em 10 unidades. Um vetor da origem ao ponto A é dado por 6 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-4 \mathbf{a}_{z}, e o vetor unitário da origem ao ponto B é (2,-2,1) / 3. Ache: (a) as coordenadas do ponto B ; (b) um vetor unitário dirigido de A para B ; (c) um vetor unitário dirigido da origem até o ponto médio da linha AB .

Passo 1

O enunciado dá estas informações (vou listar bem claro para a gente não se perder):
  • Dois pontos A e B têm distância \,|AB|=10.
  • O vetor da origem até A é \;6\mathbf{a}_x-2\mathbf{a}_y-4\mathbf{a}_z. Ou seja, as coordenadas de A são
A=(6,\,-2,\,-4).
  • O vetor unitário da origem até B é \dfrac{(2,-2,1)}{3}. Isso significa que a direção de OB é (2,-2,1) e o vetor unitário nessa direção é \dfrac{1}{3}(2,-2,1). Mas o comprimento de OB (chamo de r) não foi dado.
  • Pedidos:
    (a) as coordenadas do ponto B;
    (b) um vetor unitário dirigido de A para B;
    (c) um vetor unitário dirigido da origem até o ponto médio de AB.

Passo 2

Modelo matemático e estratégia. Como o vetor unitário na direção de OB é \dfrac{1}{3}(2,-2,1), o ponto B tem coordenadas proporcionais a essa direção multiplicadas pela distância r=|OB|. Ou seja, escrevo
B=\frac{r}{3}(2,\,-2,\;1)=\left(\frac{2r}{3},\;-\frac{2r}{3},\;\frac{r}{3}\right),
com r>0 desconhecido. Vou usar a condição de distância |AB|=10 para encontrar r. Depois de achar r eu substituo em B. Isso resolve (a). Para (b) vou calcular \overrightarrow{AB}=B-A e normalizar (dividir pelo seu módulo). Para (c) vou calcular o ponto médio M=\dfrac{A+B}{2} e normalizar o vetor \overrightarrow{OM}=M.

Passo 3

Escrever \overrightarrow{AB}=B-A em função de r e montar a equação |AB|=10.
Componentes de \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}=\left(\frac{2r}{3}-6,\;-\frac{2r}{3}+2,\;\frac{r}{3}+4\right).
O quadrado do comprimento é a soma dos quadrados das componentes; como |AB|=10 temos
\left(\frac{2r}{3}-6\right)^2+\left(-\frac{2r}{3}+2\right)^2+\left(\frac{r}{3}+4\right)^2=10^2=100.
Multiplicando ambos os lados por 9 (para eliminar os denominadores) obtemos
(2r-18)^2+(-2r+6)^2+(r+12)^2=900.

Passo 4

Desenvolvo os quadrados e simplifico para obter uma equação quadrática em r.
Calcule cada termo:
(2r-18)^2=4r^2-72r+324,
(-2r+6)^2=4r^2-24r+36,
(r+12)^2=r^2+24r+144.
Somando:
4r^2-72r+324 + 4r^2-24r+36 + r^2+24r+144 = 9r^2 -72r +504.
Logo a equação fica
9r^2-72r+504=900.
Subtraindo 900:
9r^2-72r-396=0.
Dividindo por 9:
r^2-8r-44=0.

Passo 5

Resolver a quadrática r^2-8r-44=0. Uso a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot(-44)}}{2} =\frac{8\pm\sqrt{64+176}}{2} =\frac{8\pm\sqrt{240}}{2}.
Como \sqrt{240}=\sqrt{16\cdot15}=4\sqrt{15}, obtemos
r=\frac{8\pm4\sqrt{15}}{2}=4\pm2\sqrt{15}.
Temos duas raízes, mas r é uma distância (positiva), então escolhemos
r=4+2\sqrt{15}.

Passo 6

Substituo r em B=\dfrac{r}{3}(2,-2,1) para achar as coordenadas de B.
As coordenadas de B são
B=\left(\frac{2r}{3},\;-\frac{2r}{3},\;\frac{r}{3}\right) =\left(\frac{8+4\sqrt{15}}{3},\;-\frac{8+4\sqrt{15}}{3},\;\frac{4+2\sqrt{15}}{3}\right).

Passo 7

Agora (b): calcular o vetor \overrightarrow{AB}=B-A com o r encontrado e depois dividir por |AB|=10 para obter o vetor unitário na direção A\to B.
Primeiro \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB} =\left(\frac{2r}{3}-6,\;-\frac{2r}{3}+2,\;\frac{r}{3}+4\right).
Substituindo r=4+2\sqrt{15} e simplificando cada componente:
\overrightarrow{AB}=\left(\frac{-10+4\sqrt{15}}{3},\;\frac{-2-4\sqrt{15}}{3},\;\frac{16+2\sqrt{15}}{3}\right).
Como |\overrightarrow{AB}|=10 (dado), o vetor unitário de A para B é \dfrac{\overrightarrow{AB}}{10}. Simplificando frações (dividindo numerador e denominador por 2 quando possível), obtemos
\mathbf{u}_{A\to B} =\left(\frac{-5+2\sqrt{15}}{15},\;\frac{-1-2\sqrt{15}}{15},\;\frac{8+\sqrt{15}}{15}\right).

Passo 8

Agora (c): ponto médio M de AB e vetor unitário da origem até M.
O ponto médio é
M=\frac{A+B}{2}.
Calculo componente a componente (já com r substituído) e simplifico:
M=\left(\frac{13+2\sqrt{15}}{3},\;-\frac{7+2\sqrt{15}}{3},\;-\frac{4-\sqrt{15}}{3}\right).
(versão equivalente para a terceira coordenada é \dfrac{-4+\sqrt{15}}{3}.)
O vetor \overrightarrow{OM} tem essas mesmas coordenadas. Para torná-lo unitário, divido por seu comprimento |\overrightarrow{OM}|. Cálculo do quadrado do comprimento (desenvolvimento mostrado abaixo) leva à expressão
|\overrightarrow{OM}|=\frac{1}{3}\sqrt{\,369+72\sqrt{15}\,}.
Logo o vetor unitário de O até M é
\mathbf{u}_{OM} =\frac{\overrightarrow{OM}}{|\overrightarrow{OM}|} =\frac{1}{\sqrt{369+72\sqrt{15}}}\left(13+2\sqrt{15},\; -7-2\sqrt{15},\; -4+\sqrt{15}\right).
(Se preferir, essa forma já está normalizada: divide o vetor direto pelo escalar \sqrt{369+72\sqrt{15}}.)

Resposta

(a) B=\left(\dfrac{8+4\sqrt{15}}{3},\;-\dfrac{8+4\sqrt{15}}{3},\;\dfrac{4+2\sqrt{15}}{3}\right)
(b) \displaystyle \mathbf{u}_{A\to B}=\left(\dfrac{-5+2\sqrt{15}}{15},\;\dfrac{-1-2\sqrt{15}}{15},\;\dfrac{8+\sqrt{15}}{15}\right)
(c) \displaystyle \mathbf{u}_{OM}=\dfrac{1}{\sqrt{369+72\sqrt{15}}}\left(13+2\sqrt{15},\;-7-2\sqrt{15},\;-4+\sqrt{15}\right)

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