Sabe-se que dois pontos A e B estão separados em 10 unidades. Um vetor da origem ao ponto A é dado por 6 \mathbf{a}_{x}-2 \mathbf{a}_{y}-4 \mathbf{a}_{z}, e o vetor unitário da origem ao ponto B é (2,-2,1) / 3. Ache: (a) as coordenadas do ponto B ; (b) um vetor unitário dirigido de A para B ; (c) um vetor unitário dirigido da origem até o ponto médio da linha AB .
Passo 1
O enunciado dá estas informações (vou listar bem claro para a gente não se perder):
Dois pontos A e B têm distância \,|AB|=10.
O vetor da origem até A é \;6\mathbf{a}_x-2\mathbf{a}_y-4\mathbf{a}_z. Ou seja, as coordenadas de A são
A=(6,\,-2,\,-4).
O vetor unitário da origem até B é \dfrac{(2,-2,1)}{3}. Isso significa que a direção de OB é (2,-2,1) e o vetor unitário nessa direção é \dfrac{1}{3}(2,-2,1). Mas o comprimento de OB (chamo de r) não foi dado.
Pedidos:
(a) as coordenadas do ponto B;
(b) um vetor unitário dirigido de A para B;
(c) um vetor unitário dirigido da origem até o ponto médio de AB.
Passo 2
Modelo matemático e estratégia. Como o vetor unitário na direção de OB é \dfrac{1}{3}(2,-2,1), o ponto B tem coordenadas proporcionais a essa direção multiplicadas pela distância r=|OB|. Ou seja, escrevo
com r>0 desconhecido. Vou usar a condição de distância |AB|=10 para encontrar r. Depois de achar r eu substituo em B. Isso resolve (a). Para (b) vou calcular \overrightarrow{AB}=B-A e normalizar (dividir pelo seu módulo). Para (c) vou calcular o ponto médio M=\dfrac{A+B}{2} e normalizar o vetor \overrightarrow{OM}=M.
Passo 3
Escrever \overrightarrow{AB}=B-A em função de r e montar a equação |AB|=10.
Como |\overrightarrow{AB}|=10 (dado), o vetor unitário de A para B é \dfrac{\overrightarrow{AB}}{10}. Simplificando frações (dividindo numerador e denominador por 2 quando possível), obtemos
(versão equivalente para a terceira coordenada é \dfrac{-4+\sqrt{15}}{3}.)
O vetor \overrightarrow{OM} tem essas mesmas coordenadas. Para torná-lo unitário, divido por seu comprimento |\overrightarrow{OM}|. Cálculo do quadrado do comprimento (desenvolvimento mostrado abaixo) leva à expressão