Determine os coeficientes ck da série de Fourier das funções periódicas a seguir:
(a) x(t)=cos (4 t)+sin (6 t)
(b) x(t)=-2 sin (t)+1
(c) x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k T), p(t)=de<a(t+1)-2 de<a(t-1), para T=4
(d) x(t)=sumk=-infty^+infty p(t-k T), p(t)=u(t+1)-u(t-1), para T=6

Passo 1

Temos quatro sinais periódicos x(t) e queremos seus coeficientes da série de Fourier complexa
x(t)=sumk=-infty^inftyck,e^jkomega0 t
Para cada caso vamos:
  1. Determinar o período T e omega0=2pi/T.
  2. Expressar x(t) em exponenciais complexas ou usar a integral
ck=1Tintegralt0^t0+Tx(t),e^-jkomega0t,dt

Passo 2

(a) x(t)=cos(4t)+sin(6t).
O termo cos(4t) tem período T1=2pi4=pi2 e sin(6t) tem T2=2pi6=pi3. O período comum mínimo é
T=lcml(tfracpi2,tfracpi3r)=pi, omega0=2piT=2
Agora
cos(4t)=e^j4t+e^-j4t2 =e^j(2omega0)t+e^-j(2omega0)t2,
sin(6t)=e^j6t-e^-j6t2j =e^j(3omega0)t-e^-j(3omega0)t2j
Logo os únicos coeficientes não nulos são
c2=tfrac12, c-2=tfrac12, c3=-tfracj2, c-3=+tfracj2,
e ck=0 para os outros k.

Passo 3

(b) x(t)=-2sin(t)+1.
Aqui o período é T=2pi, logo omega0=1.
Escrevemos
-2sin(t)=-2cdote^jt-e^-jt2j =l(-tfrac22jr)l(e^jt-e^-jtr) =j,e^jt-j,e^-jt
O termo constante 1 gera c0=1. Assim
c1=j, c-1=-j, c0=1,
e ck=0 para |k|>=2.

Passo 4

(c) x(t)=summ=-infty^inftyp(t-mT) com
p(t)=de<a(t+1)-2de<a(t-1), T=4, omega0=2pi4=pi2
Usamos a propriedade de delta dentro da integral
ck=1Tintegralt0^t0+Tp(t),e^-jkomega0 tdt =14l[e^-jkomega0(-1)-2,e^-jkomega0(1)r]
Substituindo omega0=tfracpi2
ck =14l[e^jkpi/2-2,e^-jkpi/2r]

Passo 5

(d) x(t)=summ=-infty^inftyp(t-mT) com
p(t)=u(t+1)-u(t-1), T=6, omega0=2pi6=pi3
Então
ck =1Tintegral-T/2^T/2p(t),e^-jkomega0tdt =16integral-1^1e^-jk(pi/3)tdt
Fazendo a integral de uma exponencial constante no intervalo [-1,1] obtém‐se
ck =16,e^-jkpi/3-e^jkpi/3-jkpi/3 =sinl(kpi/3r)kpi,
com o caso k=0 pelo limite sin(x)/xto1 dando c0=1/3.

Resposta

(a) c2=tfrac12,;c-2=tfrac12,;c3=-tfracj2,;c-3=+tfracj2, senão zero.
(b) c1=j,;c-1=-j,;c0=1, senão zero.
(c) ck=14l[e^j kpi/2-2,e^-j kpi/2r]
(d) ck=sin!l(kpi/3r)kpi (e c0=1/3).

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