Ex. 3. Mostre que a função
f(x, y)=rllx^2-y^2x^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0).
é limitada no R^2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= dfracx^2-y^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que ela é limitada em R^2. Isto significa encontrar uma constante M tal que lvert f(x,y)rvert<= M para todo (x,y)inR^2.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), observamos que
lvert f(x,y)rvert =lvert x^2-y^2x^2+y^2rvert =lvert x^2-y^2rvertx^2+y^2
Usamos a desigualdade triangular no numerador:
lvert x^2-y^2rvert<= lvert x^2rvert+lvert y^2rvert = x^2+y^2
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lvert f(x,y)rvert <= x^2+y^2x^2+y^2 =1

Passo 3

No ponto (0,0), temos f(0,0)=0 e portanto
lvert f(0,0)rvert = 0 <= 1

Passo 4

Como para todo (x,y)inR^2 vale lvert f(x,y)rvert<=1, basta tomar M=1 para concluir que f é limitada em R^2.

Resposta

A função f é limitada, pois lvert f(x,y)rvert<=1 para todo (x,y)inR^2.

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