Ex. 3. Mostre que a função
.
é limitada no
R^2 .
é limitada no
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que ela é limitada em
R^2 . Isto significa encontrar uma constante
M tal que
lvert f(x,y)rvert<= M para todo
(x,y)inR^2 .
Passo 2
Para
(x,y)neq(0,0) , observamos que
Usamos a desigualdade triangular no numerador:
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Passo 3
No ponto
(0,0) , temos
f(0,0)=0 e portanto
Passo 4
Como para todo
(x,y)inR^2 vale
lvert f(x,y)rvert<=1 , basta tomar
M=1 para concluir que
f é limitada em
R^2 .
Resposta
A função
f é limitada, pois
lvert f(x,y)rvert<=1 para todo
(x,y)inR^2 .