Determine as direções de crescimento máximo das funções nos pontos considerados.
f(x, y, z)=e^-x+e^-2 y+e^-3 z, p=(1,1,1),

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a direção de crescimento máximo de
f(x,y,z)=e^-x+e^-2y+e^-3z
no ponto p=(1,1,1).
Teoria: a direção de crescimento máximo de uma função de várias variáveis num ponto é dada pelo seu gradiente naquele ponto, e a direção unitária correspondente é o gradiente normalizado.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = -e^-x,
partial fpartial y = -2e^-2y,
partial fpartial z = -3e^-3z.

Passo 3

Avaliar o gradiente em p=(1,1,1):
nabla f(p) =l(-e^-1,,-2e^-2,,-3e^-3r)

Passo 4

Para obter a direção unitária de máximo crescimento, primeiro calculamos o módulo de nabla f(p):
|nabla f(p)| =raiz(e^-1)^2 + (2e^-2)^2 + (3e^-3)^2 =raize^-2 + 4e^-4 + 9e^-6
Em seguida, o vetor unitário é
nabla f(p)|nabla f(p)| =1raize^-2 + 4e^-4 + 9e^-6, l(-e^-1,,-2e^-2,,-3e^-3r)

Resposta

A direção de crescimento máximo no ponto p=(1,1,1) é dada pelo gradiente
nabla f(p)=l(-e^-1,,-2e^-2,,-3e^-3r)
e a direção unitária correspondente é
1raize^-2 + 4e^-4 + 9e^-6, l(-e^-1,,-2e^-2,,-3e^-3r)

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