Sejam
tais que
e
. Determine:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
(matrizes quadradas de ordem ). -
. -
.
O que se pede:
- Determinar
(ou seja, o determinante da matriz obtida multiplicando por ).
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma): o determinante é multilinear nas linhas (ou colunas) da matriz. Isso significa, em palavras simples, que se multiplicarmos uma única linha da matriz por um escalar
, o determinante inteiro será multiplicado por esse mesmo escalar
, mantendo as outras linhas fixas.
Exemplo curto para fixar a ideia: se uma matriz
tem linhas
, então multiplicar a primeira linha por
transforma o determinante assim:
Isto decorre da propriedade de linearidade do determinante em cada linha separadamente.
Passo 3
Agora aplicamos essa propriedade repetidas vezes. Multiplicar a matriz inteira por
significa multiplicar cada linha por
. Como cada multiplicação de uma linha por
multiplica o determinante por
, ao multiplicar todas as
linhas por
o fator acumulado será
multiplicado por si mesmo
vezes, ou seja,
.
Formalmente, escrevendo as linhas de
como
,
logo, pela multilinearidade,
Passo 4
Agora substituímos o valor conhecido de
. Como
, temos
Passo 5
Um exemplo numérico para ganhar intuição: se
(matrizes
), então
. Isso é só um exemplo; a resposta geral permanece
.