Sejam A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) tais que \operatorname{det} A=4 e \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det} 3 A

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) (matrizes quadradas de ordem n).
  • \operatorname{det} A = 4.
  • \operatorname{det} B = 5.
O que se pede:
  • Determinar \operatorname{det} 3A (ou seja, o determinante da matriz obtida multiplicando A por 3).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): o determinante é multilinear nas linhas (ou colunas) da matriz. Isso significa, em palavras simples, que se multiplicarmos uma única linha da matriz por um escalar c, o determinante inteiro será multiplicado por esse mesmo escalar c, mantendo as outras linhas fixas.
Exemplo curto para fixar a ideia: se uma matriz A tem linhas \ell_{1},\dots,\ell_{n}, então multiplicar a primeira linha por c transforma o determinante assim:
\det(c\ell_{1},\ell_{2},\dots,\ell_{n})=c\det(\ell_{1},\ell_{2},\dots,\ell_{n}).
Isto decorre da propriedade de linearidade do determinante em cada linha separadamente.

Passo 3

Agora aplicamos essa propriedade repetidas vezes. Multiplicar a matriz inteira por 3 significa multiplicar cada linha por 3. Como cada multiplicação de uma linha por 3 multiplica o determinante por 3, ao multiplicar todas as n linhas por 3 o fator acumulado será 3 multiplicado por si mesmo n vezes, ou seja, 3^{n}.
Formalmente, escrevendo as linhas de A como \ell_{1},\dots,\ell_{n},
3A=(3\ell_{1},3\ell_{2},\dots,3\ell_{n}),
logo, pela multilinearidade,
\det(3A)=\det(3\ell_{1},3\ell_{2},\dots,3\ell_{n})=3^{n}\det(\ell_{1},\ell_{2},\dots,\ell_{n})=3^{n}\det(A).

Passo 4

Agora substituímos o valor conhecido de \det A. Como \det A=4, temos
\det(3A)=3^{n}\cdot 4.

Passo 5

Um exemplo numérico para ganhar intuição: se n=2 (matrizes 2\times2), então \det(3A)=3^{2}\cdot 4=9\cdot 4=36. Isso é só um exemplo; a resposta geral permanece \det(3A)=4\cdot 3^{n}.

Resposta

\;4\cdot 3^{n}

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