Sejam A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) tais que \operatorname{det} A=4 e \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det} A^{-1} B

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas A,B\in M_{n}(\mathbb{R}) e informa os determinantes:
\det A = 4,\qquad \det B = 5.
A pergunta é: calcular \det\bigl(A^{-1}B\bigr).

Passo 2

Verificar se A^{-1} existe. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como foi dado que
\det A = 4 \neq 0,
conclui-se que A é invertível e, portanto, A^{-1} existe. Isso significa que as expressões envolvendo A^{-1} fazem sentido.

Passo 3

Usar a propriedade multiplicativa do determinante. Para quaisquer matrizes quadradas X e Y de mesma ordem vale:
\det(XY)=\det X\cdot\det Y.
Intuição rápida: o determinante mede o fator de escala do volume pela transformação linear; aplicar X e depois Y escala o volume por \det X e depois por \det Y, logo o efeito total é o produto.

Passo 4

Aplicar a propriedade ao produto A^{-1}B. Temos
\det\bigl(A^{-1}B\bigr)=\det\bigl(A^{-1}\bigr)\cdot\det B.

Passo 5

Usar a relação entre determinante da inversa e determinante da matriz. Como AA^{-1}=I, aplicando determinante:
\det A\cdot\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\det I=1.
Daí segue que
\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det A}.

Passo 6

Substituir tudo nas expressões usando os valores fornecidos. Primeiro:
\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{4}.
Agora voltar para \det\bigl(A^{-1}B\bigr):
\det\bigl(A^{-1}B\bigr)=\det\bigl(A^{-1}\bigr)\cdot\det B=\frac{1}{4}\cdot 5=\frac{5}{4}.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia (ilustrativo): se escolhermos
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}5 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
então \det A=2\cdot2=4 e \det B=5\cdot1=5. Tem-se
A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2 & 0\\[4pt]0 & 1/2\end{pmatrix},\qquad A^{-1}B=\begin{pmatrix}5/2 & 0\\[4pt]0 & 1/2\end{pmatrix},
e \det(A^{-1}B)=(5/2)\cdot(1/2)=5/4, confirmando o resultado geral.]

Resposta

\dfrac{5}{4}

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