Sejam
tais que
e
. Determine:
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas
e informa os determinantes:
A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Verificar se
existe. Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como foi dado que
conclui-se que
é invertível e, portanto,
existe. Isso significa que as expressões envolvendo
fazem sentido.
Passo 3
Usar a propriedade multiplicativa do determinante. Para quaisquer matrizes quadradas
e
de mesma ordem vale:
Intuição rápida: o determinante mede o fator de escala do volume pela transformação linear; aplicar
e depois
escala o volume por
e depois por
, logo o efeito total é o produto.
Passo 4
Aplicar a propriedade ao produto
. Temos
Passo 5
Usar a relação entre determinante da inversa e determinante da matriz. Como
, aplicando determinante:
Daí segue que
Passo 6
Substituir tudo nas expressões usando os valores fornecidos. Primeiro:
Agora voltar para
:
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia (ilustrativo): se escolhermos
então
e
. Tem-se
e
, confirmando o resultado geral.]