Determine e compare a impedância intrínseca \eta, a constante de atenuação \alpha(\mathrm{em} \mathrm{Np} / \mathrm{me} \mathrm{dB} / \mathrm{m}) e a profundidade pelicular \delta do cobre \left[\sigma_{\mathrm{Cu}}=58,0 \mathrm{MS} / \mathrm{m}\right] e do latão \left[\sigma_{\text {latão }}=15,9 \mathrm{MS} / \mathrm{m}\right]ã nas seguintes frequências:
1 MHz ;

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede: determinar e comparar para cobre e latão, à frequência 1\\ \mathrm{MHz}: a impedância intrínseca \eta, a constante de atenuação \alpha (em \mathrm{Np/m} e em \mathrm{dB/m}) e a profundidade de penetração (pelicular) \delta.
  • Dados fornecidos: condutividades elétricas \sigma_{\mathrm{Cu}} = 58{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}, \qquad \sigma_{\text{latão}} = 15{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}.ã
  • Frequência: f = 1{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{Hz} (ou 1\\ \mathrm{MHz}).
  • Constantes físicas que vamos usar (valores numéricos): \mu_{0} = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}\approx 1{,}256637\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}, \qquad \varepsilon_{0}\approx 8{,}854187\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Observação importante (já só para confirmar que podemos usar aproximações): verificaremos que, a 1\\ \mathrm{MHz}, \sigma\gg\omega\varepsilon_{0} (portanto podemos tratar cobre e latão como bons condutores e usar as fórmulas simplificadas).

Passo 2

Definições e fórmulas que vamos usar — explicadas devagarinho.
  1. Pulsação: a pulsação \omega é dada por
\omega = 2\pi f.
Ela tem unidade \mathrm{rad/s}.
  1. Condição de “bom condutor”: comparamos \sigma com \omega\varepsilon_{0}. Se \sigma \gg \omega\varepsilon_{0}, podemos desprezar o termo \mathrm{i}\omega\varepsilon na expressão do parâmetro de propagação dentro do condutor e usar fórmulas simplificadas (isso acontece porque a corrente conduzida domina muito mais que o deslocamento elétrico). Vou calcular \omega\varepsilon_{0} para ver se isso vale aqui.
  2. Profundidade de penetração (skin depth) \delta: é a distância na qual a amplitude do campo decai para 1/e. Para um bom condutor a fórmula é
\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}.
Aqui \mu é a permeabilidade magnética do material; para cobre e latão (materiais não magnéticos) tomamos \mu=\mu_{0}.
  1. Constante de atenuação \alpha (em \mathrm{Np/m}): para um bom condutor
\alpha = \frac{1}{\delta} = \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}.
Para converter \alpha em \mathrm{dB/m} usamos a relação 1\\ \mathrm{Np}=8{,}686\\ \mathrm{dB}, logo
\alpha_{\mathrm{dB/m}} = 8{,}686\\ \alpha_{\mathrm{Np/m}}.
  1. Impedância intrínseca \eta do condutor (complexa): para bom condutor
\eta \approx (1+\mathrm{i})\,\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.
Explicando: \eta relaciona o campo elétrico com o magnético dentro do material; no bom condutor ela é pequena em módulo e tem fase de 45^\circ (por isso aparece o fator 1+\mathrm{i}). A magnitude vale
|\eta| = \sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}}.

Passo 3

Cálculo preliminar da pulsação e verificação da condição de bom condutor.
  • Pulsação:
\omega = 2\pi f = 2\pi\times 1{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s} \approx 6{,}283185\times10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Produto \omega\varepsilon_{0}:
\omega\varepsilon_{0}\approx (6{,}283185\times10^{6})\times(8{,}854187\times10^{-12}) \approx 5{,}56\times10^{-5}\\ \mathrm{S/m}.
Comparando com \sigma_{\mathrm{Cu}}=58{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{S/m} e \sigma_{\text{latão}}=15{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}ã, vemos que
\sigma \gg \omega\varepsilon_{0}
(por muitos ordens de magnitude). Portanto as fórmulas do passo anterior são válidas — ufa, podemos usar as aproximações para bom condutor.

Passo 4

Cálculo detalhado para o cobre ( \sigma_{\mathrm{Cu}}=58{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}).
  1. Calcular \omega\mu:
\omega\mu = \omega\mu_{0} \approx (6{,}283185\times10^{6})\times(1{,}256637\times10^{-6}) \approx 7{,}895684.
(Unidade: \mathrm{s^{-1}\,H/m} mas aqui usamos só para inserir nas fórmulas.)
  1. Calcular \delta:
\delta = \sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}} = \sqrt{\frac{2}{(7{,}895684)\times(58{,}0\times10^{6})}}.
Fazendo as contas passo a passo:
\omega\mu\sigma \approx 7{,}895684\times58{,}0\times10^{6} \approx 4{,}579496\times10^{8},
\frac{2}{\omega\mu\sigma}\approx \frac{2}{4{,}579496\times10^{8}}\approx 4{,}369699\times10^{-9},
\delta \approx \sqrt{4{,}369699\times10^{-9}}\approx 6{,}610\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais familiares: \delta_{\mathrm{Cu}}\approx 66{,}10\\ \mu\mathrm{m}.
  1. Calcular \alpha (Np/m) e \alpha (dB/m):
\alpha = \frac{1}{\delta}\approx \frac{1}{6{,}610\times10^{-5}}\approx 1{,}5123\times10^{4}\\ \mathrm{Np/m}.
\alpha_{\mathrm{dB/m}} = 8{,}686\,\alpha \approx 8{,}686\times1{,}5123\times10^{4}\approx 1{,}3136\times10^{5}\\ \mathrm{dB/m}.
  1. Calcular \eta:
\eta \approx (1+\mathrm{i})\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.
Calcule o termo real:
\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}} = \sqrt{\frac{7{,}895684}{2\times58{,}0\times10^{6}}} \approx 2{,}611\times10^{-4}\\ \Omega.
Logo
\eta_{\mathrm{Cu}}\approx (2{,}611\times10^{-4}) + \mathrm{i}(2{,}611\times10^{-4})\\ \Omega,
módulo
|\eta_{\mathrm{Cu}}| \approx \sqrt{2}\times2{,}611\times10^{-4}\approx 3{,}691\times10^{-4}\\ \Omega,
e fase aproximadamente 45^\circ.

Passo 5

Cálculo detalhado para o latão ( \sigma_{\text{latão}}=15{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}ã).
  1. Reutilizamos \omega\mu \approx 7{,}895684 (mesmo valor porque \mu e f não mudam).
  2. Calcular \delta:
\omega\mu\sigma \approx 7{,}895684\times15{,}9\times10^{6}\approx 1{,}255414\times10^{8},
\frac{2}{\omega\mu\sigma}\approx \frac{2}{1{,}255414\times10^{8}}\approx 1{,}592989\times10^{-8},
\delta \approx \sqrt{1{,}592989\times10^{-8}}\approx 1{,}2621\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Em micrômetros: \delta_{\text{latão}}\approx 126{,}21\\ \mu\mathrm{m}ã.
  1. Calcular \alpha:
\alpha = \frac{1}{\delta}\approx \frac{1}{1{,}2621\times10^{-4}}\approx 7{,}925\\ \mathrm{Np/m}.
\alpha_{\mathrm{dB/m}} = 8{,}686\times7{,}925\approx 6{,}8846\times10^{4}\\ \mathrm{dB/m}.
  1. Calcular \eta:
\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}} = \sqrt{\frac{7{,}895684}{2\times15{,}9\times10^{6}}} \approx 4{,}983\times10^{-4}\\ \Omega.
Logo
\eta_{\text{latão}}\approx (4{,}983\times10^{-4}) + \mathrm{i}(4{,}983\times10^{-4})\\ \Omega,ã
módulo
|\eta_{\text{latão}}|\approx \sqrt{2}\times4{,}983\times10^{-4}\approx 7{,}049\times10^{-4}\\ \Omega,ã
fase aproximadamente 45^\circ.

Passo 6

Comparação intuitiva e interpretação (sem muita matemática, só para você entender o porquê):
  • A profundidade pelicular \delta é menor no cobre do que no latão ( \sim66\\ \mu\mathrm{m} vs \sim126\\ \mu\mathrm{m}). Isso acontece porque o cobre conduz melhor (maior \sigma) e, portanto, os campos decaem mais rapidamente dentro dele.
  • Consequentemente, a constante de atenuação \alpha (em \mathrm{Np/m}) é maior no cobre (campo decai mais rápido por metro) — isso é contraintuitivo para quem pensa “melhor condutor = menos perda”, mas aqui estamos olhando à penetração do campo dentro do metal: maior condutividade → correntes maiores → campos se atenuam mais rápido no interior.
  • A impedância intrínseca \eta tem módulo menor no cobre do que no latão ( \sim 3,69\times10^{-4}\\ \Omega vs \sim 7,05\times10^{-4}\\ \Omega). Materiais mais condutores apresentam impedância intrínseca menor.

Resposta

Cobre ( \sigma_{\mathrm{Cu}}=58{,}0\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}, f=1\\ \mathrm{MHz}): \\ \eta\approx(2{,}61\times10^{-4}+ \mathrm{i}\,2{,}61\times10^{-4})\\ \Omega ; \alpha\approx 1{,}5123\times10^{4}\\ \mathrm{Np/m}=1{,}3136\times10^{5}\\ \mathrm{dB/m} ; \delta\approx 6{,}610\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\\ (66{,}10\\ \mu\mathrm{m})
Latão ( \sigma_{\text{latão}}=15{,}9\times10^{6}\\ \mathrm{S/m}ã, f=1\\ \mathrm{MHz}): \\ \eta\approx(4{,}98\times10^{-4}+ \mathrm{i}\,4{,}98\times10^{-4})\\ \Omega ; \alpha\approx 7{,}925\times10^{3}\\ \mathrm{Np/m}=6{,}8846\times10^{4}\\ \mathrm{dB/m} ; \delta\approx 1{,}2621\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\\ (126{,}21\\ \mu\mathrm{m})

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