Determine e compare a impedância intrínseca
, a constante de atenuação
e a profundidade pelicular
do cobre
e do latão
nas seguintes frequências:
1 MHz ;
1 MHz ;
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pede: determinar e comparar para cobre e latão, à frequência
: a impedância intrínseca , a constante de atenuação (em e em ) e a profundidade de penetração (pelicular) . - Dados fornecidos: condutividades elétricas
- Frequência:
(ou ). - Constantes físicas que vamos usar (valores numéricos):
- Observação importante (já só para confirmar que podemos usar aproximações): verificaremos que, a
, (portanto podemos tratar cobre e latão como bons condutores e usar as fórmulas simplificadas).
Passo 2
Definições e fórmulas que vamos usar — explicadas devagarinho.
- Pulsação: a pulsação
é dada por
Ela tem unidade
.
-
Condição de “bom condutor”: comparamos
com . Se , podemos desprezar o termo na expressão do parâmetro de propagação dentro do condutor e usar fórmulas simplificadas (isso acontece porque a corrente conduzida domina muito mais que o deslocamento elétrico). Vou calcular para ver se isso vale aqui. -
Profundidade de penetração (skin depth)
: é a distância na qual a amplitude do campo decai para . Para um bom condutor a fórmula é
Aqui
é a permeabilidade magnética do material; para cobre e latão (materiais não magnéticos) tomamos
.
- Constante de atenuação
(em ): para um bom condutor
Para converter
em
usamos a relação
, logo
- Impedância intrínseca
do condutor (complexa): para bom condutor
Explicando:
relaciona o campo elétrico com o magnético dentro do material; no bom condutor ela é pequena em módulo e tem fase de
(por isso aparece o fator
). A magnitude vale
Passo 3
Cálculo preliminar da pulsação e verificação da condição de bom condutor.
- Pulsação:
- Produto
:
Comparando com
e
, vemos que
(por muitos ordens de magnitude). Portanto as fórmulas do passo anterior são válidas — ufa, podemos usar as aproximações para bom condutor.
Passo 4
Cálculo detalhado para o cobre (
).
- Calcular
:
(Unidade:
mas aqui usamos só para inserir nas fórmulas.)
- Calcular
:
Fazendo as contas passo a passo:
Em unidades mais familiares:
.
- Calcular
(Np/m) e (dB/m):
- Calcular
:
Calcule o termo real:
Logo
módulo
e fase aproximadamente
.
Passo 5
Cálculo detalhado para o latão (
).
-
Reutilizamos
(mesmo valor porque e não mudam). -
Calcular
:
Em micrômetros:
.
- Calcular
:
- Calcular
:
Logo
módulo
fase aproximadamente
.
Passo 6
Comparação intuitiva e interpretação (sem muita matemática, só para você entender o porquê):
- A profundidade pelicular
é menor no cobre do que no latão ( vs ). Isso acontece porque o cobre conduz melhor (maior ) e, portanto, os campos decaem mais rapidamente dentro dele. - Consequentemente, a constante de atenuação
(em ) é maior no cobre (campo decai mais rápido por metro) — isso é contraintuitivo para quem pensa “melhor condutor = menos perda”, mas aqui estamos olhando à penetração do campo dentro do metal: maior condutividade → correntes maiores → campos se atenuam mais rápido no interior. - A impedância intrínseca
tem módulo menor no cobre do que no latão ( vs ). Materiais mais condutores apresentam impedância intrínseca menor.
Resposta
Cobre (
,
):
;
;
Latão (
,
):
;
;