Encontre a constante de propagação \gamma em 400 MHz para um meio material no qual \varepsilon_{\mathrm{r}}=16, \mu_{\mathrm{r}}= 4,5 e \sigma=0,6 \mathrm{~S} / \mathrm{m}. Encontre a razão entre a velocidade de propagação u_{\mathrm{p}} e a velocidade do espaço livre c_{0}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a constante de propagação \gamma no meio para f=400\\ \mathrm{MHz}.
  2. Calcular a razão entre a velocidade de propagação u_{\mathrm{p}} no meio e a velocidade no espaço livre c_{0}.
Dados fornecidos:
f=400\\ \mathrm{MHz},\qquad \varepsilon_{\mathrm{r}}=16,\qquad \mu_{\mathrm{r}}=4{,}5,\qquad \sigma=0{,}6\\ \mathrm{S/m}.
Nada mais é pedido explicitamente.

Passo 2

Qual fórmula usamos e o que cada termo significa (aula rápida, sem pânico). A constante de propagação em um meio condutor/dieléctrico é
\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{j\omega\mu\big(\sigma+j\omega\varepsilon\big)},
onde:
  • \omega=2\pi f é a pulsação (rad/s);
  • \mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_{0} é a permeabilidade do meio (H/m), com \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m};
  • \varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0} é a permittividade do meio (F/m), com \varepsilon_{0}=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m};
  • \sigma é a condutividade (S/m).
    Explicação do uso: essa fórmula vem da solução da equação de onda para campos sinusoidais em meios com perda elétrica. A raiz quadrada é complexa e dá a parte real \alpha (atenuação) e a parte imaginária \beta (constante de fase).

Passo 3

Calcular \omega,\\ \varepsilon,\\ \mu numericamente.
\omega=2\pi f=2\pi\cdot400\times10^{6}=2{,}513274123\times10^{9}\\ \mathrm{rad/s}.
\varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{r}}\varepsilon_{0}=16\cdot 8{,}854187817\times10^{-12}=1{,}41667005072\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.
\mu=\mu_{\mathrm{r}}\mu_{0}=4{,}5\cdot(4\pi\times10^{-7})=4{,}5\cdot 1{,}2566370614359173\times10^{-6} =5{,}65486677646\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m}.

Passo 4

Montamos \gamma^2 e separamos em parte real e imaginária. Usamos a forma
\gamma^{2}=j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)= -\omega^{2}\mu\varepsilon + j\,\omega\mu\sigma.
Definimos
x=-\omega^{2}\mu\varepsilon,\qquad y=\omega\mu\sigma,
que são, numericamente,
\omega^{2}\mu\varepsilon \approx 5{,}061{,}1\times10^{3}\quad\Rightarrow\quad x\approx -5{,}061{,}1,
y=\omega\mu\sigma \approx 8{,}527{,}3.
Logo
\gamma^{2}=x+j y\approx -5{,}061{,}1 + j\,8{,}527{,}3.
(Expliquei: calculei \omega^{2} e multipliquei por \mu\varepsilon para obter x; e calculei \omega\mu\sigma para obter y.)

Passo 5

Temos que extrair a raiz quadrada de um número complexo z=x+jy. A fórmula prática é
\sqrt{z}=u+jv,
com
u=\sqrt{\frac{|z|+x}{2}},\qquad v=\operatorname{sign}(y)\sqrt{\frac{|z|-x}{2}},
onde |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Vamos calcular passo a passo.
Calcule |z|:
|z|=\sqrt{(-5{,}061{,}1)^{2}+(8{,}527{,}3)^{2}}\approx 9{,}916{,}8.
Agora
\frac{|z|+x}{2}=\frac{9{,}916{,}8-5{,}061{,}1}{2}=2{,}427{,}85,
\frac{|z|-x}{2}=\frac{9{,}916{,}8+5{,}061{,}1}{2}=7{,}488{,}95.
Tirando raízes:
u=\sqrt{2{,}427{,}85}\approx 49{,}27,\qquad v=\sqrt{7{,}488{,}95}\approx 86{,}56.
Como y>0, o sinal imaginário é positivo. Portanto
\gamma=u+jv\approx 49{,}27 + j\,86{,}56\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 6

Interpretação dos resultados e pequenas verificações: \alpha\approx49{,}27\\ \mathrm{m^{-1}} é a atenuação (Np/m) e \beta\approx86{,}56\\ \mathrm{rad/m} é a constante de fase. Faz sentido \beta>\alpha para este conjunto de parâmetros (meio com perdas moderadas).

Passo 7

Agora a velocidade de fase (velocidade de propagação) é
u_{\mathrm{p}}=\frac{\omega}{\beta}.
Calculando:
u_{\mathrm{p}}=\frac{2{,}513274123\times10^{9}}{86{,}56}\approx 2{,}903\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
A velocidade no espaço livre é c_{0}=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Portanto a razão pedida é
\frac{u_{\mathrm{p}}}{c_{0}}\approx\frac{2{,}903\times10^{7}}{2{,}99792458\times10^{8}}\approx 0{,}0968.

Resposta

\displaystyle \gamma\approx 49{,}27 + j\,86{,}56\\ \mathrm{m^{-1}}
\displaystyle \frac{u_{\mathrm{p}}}{c_{0}}\approx 0{,}0968

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