Uma onda eletromagnética no espaço livre tem uma constante de fase \beta_{1}=0,524 \mathrm{rad} / \mathrm{m}. A mesma onda tem uma constante de fase de \beta_{2}=1,81 \mathrm{rad} / \mathrm{m} ao entrar em um dielétrico perfeito. Supondo que \mu_{\mathrm{r}}=1, determine \varepsilon_{\mathrm{r}} e a velocidade de fase da onda.

Passo 1

O enunciado dá duas constantes de fase para a mesma onda: a constante no espaço livre é \beta_{1}=0,524\\ \mathrm{rad/m} e a constante no dielétrico perfeito é \beta_{2}=1,81\\ \mathrm{rad/m}. Também nos disseram que \mu_{r}=1.
As perguntas implícitas são: (1) determinar a permissividade relativa \varepsilon_{r} do dielétrico e (2) determinar a velocidade de fase v_{p} da onda dentro do dielétrico.
Dados listados: \beta_{1}=0,524\\ \mathrm{rad/m}, \beta_{2}=1,81\\ \mathrm{rad/m}, \mu_{r}=1.

Passo 2

Fórmula fundamental que vamos usar: a constante de fase \beta de uma onda plana é dada por
\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon},
onde \omega é a frequência angular (rad/s), \mu é a permeabilidade do meio e \varepsilon é a permissividade do meio. Aqui \mu=\mu_{0}\mu_{r} e \varepsilon=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}.
No espaço livre, \beta_{1}=\omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}=\omega/c, onde c é a velocidade da luz no vácuo. Em um dielétrico sem perdas temos \beta_{2}=\omega\sqrt{\mu_{0}\mu_{r}\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}=\omega\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}/\;c^{-1} mas é mais claro trabalhar com a razão \beta_{2}/\beta_{1}, que elimina \omega e os constantes do vácuo.

Passo 3

Tomamos a razão das constantes de fase:
\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}=\sqrt{\mu_{r}\varepsilon_{r}}.
Como foi dado \mu_{r}=1, temos
\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}=\sqrt{\varepsilon_{r}}.
Isolando \varepsilon_{r},
\varepsilon_{r}=\left(\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}\right)^{2}.
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos a razão:
\frac{\beta_{2}}{\beta_{1}}=\frac{1,81}{0,524}\approx 3,455.
Elevando ao quadrado:
\varepsilon_{r}\approx (3,455)^{2}\approx 11,94.
Portanto a permissividade relativa do dielétrico é aproximadamente \varepsilon_{r}=11,94.

Passo 4

Agora a velocidade de fase v_{p} em qualquer meio é dada por
v_{p}=\frac{\omega}{\beta}.
Para o dielétrico usamos \beta_{2}. Podemos eliminar \omega usando \omega=\beta_{1}c (porque \beta_{1}=\omega/c). Assim
v_{p}=\frac{\omega}{\beta_{2}}=\frac{\beta_{1}c}{\beta_{2}}=c\cdot\frac{\beta_{1}}{\beta_{2}}.
Substituindo c\approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e as betas:
v_{p}\approx 3\times10^{8}\cdot\frac{0,524}{1,81}.
Calculemos a fração:
\frac{0,524}{1,81}\approx 0,2895.
Portanto
v_{p}\approx 3\times10^{8}\times 0,2895 \approx 8,69\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
Observação rápida: também poderia ter usado v_{p}=c/\sqrt{\varepsilon_{r}} (válido aqui porque \mu_{r}=1), o que dá o mesmo resultado.

Passo 5

Checagem de coerência: \varepsilon_{r}>1 implica que v_{p}<c, e de fato 8,69\times10^{7}\\ \mathrm{m/s} é menor que 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, então o resultado faz sentido físico. Força aí — já tem a resposta e a lógica para reproduzir na prova!

Resposta

\varepsilon_{r}\approx 11,94
v_{p}\approx 8,69\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}

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