Uma onda eletromagnética no espaço livre tem uma constante de fase
. A mesma onda tem uma constante de fase de
ao entrar em um dielétrico perfeito. Supondo que
, determine
e a velocidade de fase da onda.
Passo 1
O enunciado dá duas constantes de fase para a mesma onda: a constante no espaço livre é
e a constante no dielétrico perfeito é
. Também nos disseram que
.
As perguntas implícitas são: (1) determinar a permissividade relativa do dielétrico e (2) determinar a velocidade de fase
da onda dentro do dielétrico.
Dados listados: ,
,
.
As perguntas implícitas são: (1) determinar a permissividade relativa
Dados listados:
Passo 2
Fórmula fundamental que vamos usar: a constante de fase
de uma onda plana é dada por
onde
é a frequência angular (rad/s),
é a permeabilidade do meio e
é a permissividade do meio. Aqui
e
.
No espaço livre, , onde
é a velocidade da luz no vácuo. Em um dielétrico sem perdas temos
mas é mais claro trabalhar com a razão
, que elimina
e os constantes do vácuo.
No espaço livre,
Passo 3
Tomamos a razão das constantes de fase:
Como foi dado
, temos
Isolando
,
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculamos a razão:
Elevando ao quadrado:
Portanto a permissividade relativa do dielétrico é aproximadamente
.
Passo 4
Agora a velocidade de fase
em qualquer meio é dada por
Para o dielétrico usamos
. Podemos eliminar
usando
(porque
). Assim
Substituindo
e as betas:
Calculemos a fração:
Portanto
Observação rápida: também poderia ter usado
(válido aqui porque
), o que dá o mesmo resultado.
Passo 5
Checagem de coerência:
implica que
, e de fato
é menor que
, então o resultado faz sentido físico. Força aí — já tem a resposta e a lógica para reproduzir na prova!