Determine os complexos z tais que a igualdade a seguir é verdadeira
z^2=2 cdot barz cdot i

Passo 1

A questão pede para encontrar todos os números complexos z tais que a seguinte igualdade seja satisfeita:
z^2=2,i,barz
Isso é um problema de números complexos em forma algébrica: vamos representar z=x+iy e usar a separação em parte real e imaginária para resolver.

Passo 2

Vamos escrever z=x+iy com x,yinR.
Então barz=x-iy.

Passo 3

Substituindo na equação original, temos
(x+iy)^2=2,i,(x-iy)
Agora vamos expandir cada lado.

Passo 4

No lado esquerdo:
(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy
No lado direito:
2,i,(x-iy)=2ix+2y

Passo 5

Igualando parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária, obtemos o sistema
x^2-y^2=2y,[6pt] 2xy=2x

Passo 6

Da segunda equação 2xy=2x vem
2x(y-1)=0implies x=0 ou y=1
Analisamos os dois casos:

Passo 7

Caso 1: x=0.
Substituindo em x^2-y^2=2y
0-y^2=2yimplies -y(y+2)=0implies y=0 ou y=-2
Logo z=0 ou z=-2i.

Passo 8

Caso 2: y=1.
Substituindo em x^2-y^2=2y
x^2-1=2implies x^2=3implies x=pmraiz3
Logo z=raiz3+i ou z=-raiz3+i.

Resposta

As soluções são z=0, z=-2i, z=raiz3+i e z=-raiz3+i.

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