Determine os complexos
tais que a igualdade a seguir é verdadeira
Passo 1
A questão pede para encontrar todos os números complexos
tais que a seguinte igualdade seja satisfeita:
Isso é um problema de números complexos em forma algébrica: vamos representar
e usar a separação em parte real e imaginária para resolver.
Passo 2
Vamos escrever
com
.
Então .
Então
Passo 3
Substituindo na equação original, temos
Agora vamos expandir cada lado.
Passo 4
No lado esquerdo:
No lado direito:
Passo 5
Igualando parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária, obtemos o sistema
Passo 6
Da segunda equação
vem
Analisamos os dois casos:
Passo 7
Caso 1:
.
Substituindo em dá
Substituindo em
Logo
ou
.
Passo 8
Caso 2:
.
Substituindo em dá
Substituindo em
Logo
ou
.
Resposta
As soluções são
,
,
e
.