Se o quociente de 3+2 i pelo complexo z é igual a 1-i, determine z.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar o número complexo z que satisfaz a equação 3 + 2iz = 1 - i. Aqui, estamos trabalhando com números complexos, especificamente com a divisão de complexos. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação e utilizar as propriedades dos números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
3 + 2iz = 1 - i
Queremos isolar z para encontrá-lo. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por z.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por z, temos:
3 + 2i = (1 - i)z
Agora, para isolar z, vamos dividir ambos os lados por (1 - i).

Passo 4

Dividindo ambos os lados por (1 - i):
z = 3 + 2i1 - i

Passo 5

Para dividir números complexos, é útil multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de (1 - i) é (1 + i). Assim, multiplicamos numerador e denominador por (1 + i):
z = (3 + 2i)(1 + i)(1 - i)(1 + i)

Passo 6

Vamos calcular o denominador primeiro:
(1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2
Onde usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 e que i^2 = -1.

Passo 7

Agora, vamos multiplicar o numerador:
(3 + 2i)(1 + i) = 3 cdot 1 + 3 cdot i + 2i cdot 1 + 2i cdot i = 3 + 3i + 2i + 2i^2

Passo 8

Simplificando o numerador:
3 + 3i + 2i + 2i^2 = 3 + 5i + 2(-1) = 3 + 5i - 2 = 1 + 5i

Passo 9

Agora, temos:
z = 1 + 5i2 = 12 + 52i

Resposta

O número complexo z é 12 + 52i.

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