Encontre uma solução explícita para o problema de valor inicial dado.
x y^prime+y=e^x, y(1)=2 y=x^-1 e^x+(2-e) x^-1

Passo 1

Temos o problema de valor inicial x y' + y = e^x com y(1) = 2. Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem, e vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + 1xy = e^xx. O coeficiente de y é tfrac1x, logo o fator integrante é mu(x) = e^integral tfrac1xdx = x.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x, obtendo x y' + y = e^x. Observamos que o lado esquerdo é a derivada tfracddx(x y). Assim, tfracddx(x y)=e^x.

Passo 4

Integramos ambos os lados: integral d(x y)=integral e^x dx, resultando em x y = e^x + C. Isolando y obtemos y = e^x + Cx.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=2. Substituindo, temos e + C = 2, logo C = 2 - e. Portanto a solução explícita é y = e^x + 2 - ex.

Resposta

y = e^x + 2 - ex

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