1. Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
    e) g(t)=t\left(2-t^{2}\right)\left(1+4 t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função \;g(t)=t\left(2-t^{2}\right)\left(1+4 t^{2}\right)\;.
Informações dadas:
  • A função é \;g(t)=t\left(2-t^{2}\right)\left(1+4 t^{2}\right)\;.
  • Não há restrição de domínio explícita, logo consideramos t\in\mathbb{R}.
  • Queremos encontrar a componente par (função par) e a componente ímpar (função ímpar) da função g.

Passo 2

Primeiro, a definição e as fórmulas que vamos usar (essas são padrões para decompor qualquer função em parte par e ímpar):
g_{e}(t)=\frac{g(t)+g(-t)}{2}
g_{o}(t)=\frac{g(t)-g(-t)}{2}
Explicando de forma simples:
  • Uma função h é par se \;h(-t)=h(t)\;. Ex.: \;t^{2} é par.
  • Uma função h é ímpar se \;h(-t)=-h(t)\;. Ex.: \;t é ímpar.
  • As fórmulas acima pegam a média entre g(t) e g(-t) para isolar a parte par, e a diferença para isolar a parte ímpar. Essas partes são únicas e somam \;g(t)=g_{e}(t)+g_{o}(t)\;.

Passo 3

Vamos calcular \;g(-t)\; explicitando cada passo de substituição:
g(-t)=(-t)\bigl(2-(-t)^{2}\bigr)\bigl(1+4(-t)^{2}\bigr).
Observação importante: para qualquer t vale (-t)^{2}=t^{2}. Usando isso:
g(-t)=(-t)\bigl(2-t^{2}\bigr)\bigl(1+4t^{2}\bigr).
Agora fatoramos o -1 do primeiro termo:
g(-t)=-\,t\bigl(2-t^{2}\bigr)\bigl(1+4t^{2}\bigr).
Mas o produto à direita é exatamente \;g(t)\;. Portanto:
g(-t)=-g(t).

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior:
  • Como \;g(-t)=-g(t)\; para todo t, a função g é ímpar.
  • Logo a componente par de g deve ser a função zero, e a componente ímpar deve ser a própria g. Vamos confirmar isso pelas fórmulas.

Passo 5

Calcular a componente par com a fórmula:
g_{e}(t)=\frac{g(t)+g(-t)}{2}=\frac{g(t)+\bigl(-g(t)\bigr)}{2}=\frac{0}{2}=0.
Portanto a parte par é identicamente zero.

Passo 6

Calcular a componente ímpar com a fórmula:
g_{o}(t)=\frac{g(t)-g(-t)}{2}=\frac{g(t)-\bigl(-g(t)\bigr)}{2}=\frac{2g(t)}{2}=g(t).
Portanto a parte ímpar é a própria função \;g(t)=t\left(2-t^{2}\right)\left(1+4 t^{2}\right)\;.

Passo 7

Comentário pedagógico rápido (para decorar o raciocínio): outra forma de ver isso sem calcular g(-t) explicitamente é usar paridade de fatores:
  • \;t\; é ímpar,
  • \;2-t^{2}\; é par (porque só depende de t^{2}),
  • \;1+4t^{2}\; é par.
    Produto de ímpar por par por par é ímpar. Então g é ímpar, confirmando os resultados anteriores.

Resposta

g_{e}(t)=0
g_{o}(t)=t\left(2-t^{2}\right)\left(1+4 t^{2}\right)

Exercícios relacionados