- Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrição de domínio explícita, logo consideramos
. - Queremos encontrar a componente par (função par) e a componente ímpar (função ímpar) da função
.
Passo 2
Primeiro, a definição e as fórmulas que vamos usar (essas são padrões para decompor qualquer função em parte par e ímpar):
Explicando de forma simples:
- Uma função
é par se . Ex.: é par. - Uma função
é ímpar se . Ex.: é ímpar. - As fórmulas acima pegam a média entre
e para isolar a parte par, e a diferença para isolar a parte ímpar. Essas partes são únicas e somam .
Passo 3
Vamos calcular
explicitando cada passo de substituição:
Observação importante: para qualquer
vale
. Usando isso:
Agora fatoramos o
do primeiro termo:
Mas o produto à direita é exatamente
. Portanto:
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior:
- Como
para todo , a função é ímpar. - Logo a componente par de
deve ser a função zero, e a componente ímpar deve ser a própria . Vamos confirmar isso pelas fórmulas.
Passo 5
Calcular a componente par com a fórmula:
Portanto a parte par é identicamente zero.
Passo 6
Calcular a componente ímpar com a fórmula:
Portanto a parte ímpar é a própria função
.
Passo 7
Comentário pedagógico rápido (para decorar o raciocínio): outra forma de ver isso sem calcular
explicitamente é usar paridade de fatores:
-
é ímpar, -
é par (porque só depende de ), -
é par.
Produto de ímpar por par por par é ímpar. Entãoé ímpar, confirmando os resultados anteriores.