- Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função
.\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
é a função dada (sem especificar normalização, mas tanto
quanto
têm a mesma paridade).\n
Pergunta explícita: encontrar a componente par de e a componente ímpar de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Pergunta explícita: encontrar a componente par de
Passo 2
Conceito e fórmulas que vamos usar (pequena aula): toda função real
pode ser escrita como soma de uma parte par
e uma parte ímpar
, onde
Explicação das fórmulas:
é construída somando
e
— isso cancela qualquer assimetria ímpar, sobrando só a parte que satisfaz
. Já
é a metade da diferença, que produz uma função com
. Essas fórmulas são padrão e fáceis de aplicar na prova: primeiro calcule
, depois aplique as duas fórmulas.
Passo 3
Vamos analisar a paridade de
. Usando a forma comum
(a análise vale também para
):
calculemos . Substituindo:
calculemos
Agora use a propriedade da função seno:
. Então
Conclusão:
, ou seja,
é uma função par.
Observação sobre
: a expressão
tem forma indeterminada em
, mas o limite existe:
portanto definimos (ou lembramos) que
. Isso não altera a paridade:
.
Passo 4
Agora aplicamos as fórmulas das componentes usando que
.
Componente par:
Componente ímpar:
Interpretação fácil para a prova: se você percebe que uma função é par, já sabe na hora que a componente par é a própria função e a ímpar é zero — é um atalho rápido que vale lembrar.