1. Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
    d) g(t)=\operatorname{sinc}(t)

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função \operatorname{sinc}(t).\n
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\operatorname{s{sinc}}(t) é a função dada (sem especificar normalização, mas tanto \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t} quanto \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t} têm a mesma paridade).\n
Pergunta explícita: encontrar a componente par de \operatorname{sinc}(t) e a componente ímpar de \operatorname{sinc}(t).

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (pequena aula): toda função real f(t) pode ser escrita como soma de uma parte par f_{e}(t) e uma parte ímpar f_{o}(t), onde
f_{e}(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2},
f_{o}(t)=\frac{f(t)-f(-t)}{2}.
Explicação das fórmulas: f_{e}(t) é construída somando f(t) e f(-t) — isso cancela qualquer assimetria ímpar, sobrando só a parte que satisfaz f_{e}(-t)=f_{e}(t). Já f_{o}(t) é a metade da diferença, que produz uma função com f_{o}(-t)=-f_{o}(t). Essas fórmulas são padrão e fáceis de aplicar na prova: primeiro calcule f(-t), depois aplique as duas fórmulas.

Passo 3

Vamos analisar a paridade de \operatorname{sinc}(t). Usando a forma comum \operatorname{sinc}(t)=\dfrac{\sin t}{t} (a análise vale também para \dfrac{\sin(\pi t)}{\pi t}):
calculemos \operatorname{sinc}(-t). Substituindo:
\operatorname{sinc}(-t)=\frac{\sin(-t)}{-t}.
Agora use a propriedade da função seno: \sin(-t)=-\sin t. Então
\operatorname{sinc}(-t)=\frac{-\sin t}{-t}=\frac{\sin t}{t}=\operatorname{sinc}(t).
Conclusão: \operatorname{sinc}(-t)=\operatorname{sinc}(t), ou seja, \operatorname{sinc}(t) é uma função par.
Observação sobre t=0: a expressão \dfrac{\sin t}{t} tem forma indeterminada em t=0, mas o limite existe:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,
portanto definimos (ou lembramos) que \operatorname{sinc}(0)=1. Isso não altera a paridade: 1=1.

Passo 4

Agora aplicamos as fórmulas das componentes usando que \operatorname{sinc}(-t)=\operatorname{sinc}(t).
Componente par:
g_{e}(t)=\frac{\operatorname{sinc}(t)+\operatorname{sinc}(-t)}{2}=\frac{\operatorname{sinc}(t)+\operatorname{sinc}(t)}{2}=\operatorname{sinc}(t).
Componente ímpar:
g_{o}(t)=\frac{\operatorname{sinc}(t)-\operatorname{sinc}(-t)}{2}=\frac{\operatorname{sinc}(t)-\operatorname{sinc}(t)}{2}=0.
Interpretação fácil para a prova: se você percebe que uma função é par, já sabe na hora que a componente par é a própria função e a ímpar é zero — é um atalho rápido que vale lembrar.

Resposta

g_{e}(t)=\operatorname{sinc}(t)
g_{o}(t)=0

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