1. Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
    c) g(t)=\frac{2 t^{2}-3 t+6}{1+t}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função g(t)=\dfrac{2 t^{2}-3 t+6}{1+t}.
Informações dadas:
  • A função é g(t)=\dfrac{2 t^{2}-3 t+6}{1+t}.
  • Queremos a parte par (componente par) e a parte ímpar (componente ímpar) de g.
O que será entregue depois: expressões explícitas para a componente par g_{e}(t) e para a componente ímpar g_{o}(t).

Passo 2

Princípio geral (fórmulas que precisamos usar). Para qualquer função f(t) definimos:
f_{e}(t)=\frac{f(t)+f(-t)}{2}
f_{o}(t)=\frac{f(t)-f(-t)}{2}
Explicação curta e intuitiva: a soma f(t)+f(-t) cancela as partes que mudam de sinal (restando a parte simétrica), e a diferença f(t)-f(-t) cancela as partes simétricas (restando a parte antissimétrica). Vamos aplicar isso com f=g.

Passo 3

Calcular g(-t) diretamente substituindo -t em g:
g(-t)=\frac{2(-t)^{2}-3(-t)+6}{1+(-t)}=\frac{2t^{2}+3t+6}{1-t}.

Passo 4

Para facilitar manipulações, faço uma divisão polinomial de \dfrac{2 t^{2}-3 t+6}{1+t} por t+1 (isso ajuda a separar termo polinomial + fração):
dividindo 2t^{2}-3t+6 por t+1 obtemos
\frac{2 t^{2}-3 t+6}{t+1}=2t-5+\frac{11}{t+1}.
Logo
g(t)=2t-5+\frac{11}{t+1}.
(Demonstração rápida da divisão: (t+1)(2t)=2t^{2}+2t resta -5t+6. (t+1)(-5)=-5t-5 resta 11.)

Passo 5

Usando a forma acima para g(t), escrevo também g(-t) de forma análoga:
g(-t)=-2t-5+\frac{11}{1-t}.
(Obtido substituindo t\mapsto -t em 2t-5+\dfrac{11}{t+1}. Note que \dfrac{11}{-t+1}=\dfrac{11}{1-t}.)

Passo 6

Calcular a componente par g_{e}(t)=\dfrac{g(t)+g(-t)}{2}. Substituo as formas obtidas:
g_{e}(t)=\frac{\bigl(2t-5+\dfrac{11}{t+1}\bigr)+\bigl(-2t-5+\dfrac{11}{1-t}\bigr)}{2}.
Agrupando termos:
g_{e}(t)=\frac{-10+\dfrac{11}{t+1}+\dfrac{11}{1-t}}{2}.
Agora simplifico a soma das frações. Calculo
\frac{1}{t+1}+\frac{1}{1-t}=\frac{1-t+t+1}{(t+1)(1-t)}=\frac{2}{(t+1)(1-t)}.
E observo (t+1)(1-t)=1-t^{2}. Então
\frac{1}{t+1}+\frac{1}{1-t}=\frac{2}{1-t^{2}}.
Multiplicando por 11 e voltando para g_{e}:
g_{e}(t)=\frac{-10+\dfrac{22}{1-t^{2}}}{2}=-5+\frac{11}{1-t^{2}}.
Verificação rápida de consistência: g_{e}(-t)=-5+\dfrac{11}{1-(-t)^{2}}=-5+\dfrac{11}{1-t^{2}}=g_{e}(t), ou seja, é par.

Passo 7

Calcular a componente ímpar g_{o}(t)=\dfrac{g(t)-g(-t)}{2}. Substituo as formas:
g_{o}(t)=\frac{\bigl(2t-5+\dfrac{11}{t+1}\bigr)-\bigl(-2t-5+\dfrac{11}{1-t}\bigr)}{2}.
Agrupando:
g_{o}(t)=\frac{4t+\dfrac{11}{t+1}-\dfrac{11}{1-t}}{2}=2t+\frac{11}{2}\Bigl(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{1-t}\Bigr).
Simplifico a diferença de frações:
\frac{1}{t+1}-\frac{1}{1-t}=\frac{1-t-(t+1)}{(t+1)(1-t)}=\frac{-2t}{1-t^{2}}.
Multiplicando por \dfrac{11}{2} \dfrac{11}{2}\cdot\frac{-2t}{1-t^{2}}=-\frac{11t}{1-t^{2}}. Assim
g_{o}(t)=2t-\frac{11t}{1-t^{2}}.
Posso juntar em uma única fração para ficar mais compacto:
g_{o}(t)=\frac{2t(1-t^{2})-11t}{1-t^{2}}=\frac{-2t^{3}-9t}{1-t^{2}}=-\frac{t(2t^{2}+9)}{1-t^{2}}.
Verificação rápida: g_{o}(-t)=-\bigl(-\dfrac{t(2t^{2}+9)}{1-t^{2}}\bigr)=-g_{o}(t), logo é ímpar.

Resposta

\displaystyle g_{e}(t)=-5+\frac{11}{1-t^{2}}\n
\displaystyle g_{o}(t)=2t-\frac{11t}{1-t^{2}}=-\frac{t(2t^{2}+9)}{1-t^{2}}

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