- Determine as componentes par e ímpar das seguintes funções:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede: determinar as componentes par e ímpar da função
.
Informações dadas:
- A função é
. - Queremos a parte par (componente par) e a parte ímpar (componente ímpar) de
.
O que será entregue depois: expressões explícitas para a componente par
e para a componente ímpar
.
Passo 2
Princípio geral (fórmulas que precisamos usar). Para qualquer função
definimos:
Explicação curta e intuitiva: a soma
cancela as partes que mudam de sinal (restando a parte simétrica), e a diferença
cancela as partes simétricas (restando a parte antissimétrica). Vamos aplicar isso com
.
Passo 3
Calcular
diretamente substituindo
em
:
Passo 4
Para facilitar manipulações, faço uma divisão polinomial de
por
(isso ajuda a separar termo polinomial + fração):
dividindo por
obtemos
dividindo
Logo
(Demonstração rápida da divisão:
resta
.
resta
.)
Passo 5
Usando a forma acima para
, escrevo também
de forma análoga:
(Obtido substituindo
em
. Note que
.)
Passo 6
Calcular a componente par
. Substituo as formas obtidas:
Agrupando termos:
Agora simplifico a soma das frações. Calculo
E observo
. Então
Multiplicando por
e voltando para
:
Verificação rápida de consistência:
, ou seja, é par.
Passo 7
Calcular a componente ímpar
. Substituo as formas:
Agrupando:
Simplifico a diferença de frações:
Multiplicando por
dá
. Assim
Posso juntar em uma única fração para ficar mais compacto:
Verificação rápida:
, logo é ímpar.