Determine as componentes tangencial, normal da aceleração para a função posição dada por r(t)=3 t i-t j+t^2 k (1,5 pontos )

Passo 1

O enunciado pede as componentes tangencial e normal da aceleração para a posição
r(t)=3t,i-t,j+t^2,k
O conteúdo é cinematica vetorial em curvas no espaço. Para resolver vamos calcular o vetor velocidade v(t), o vetor aceleração a(t), o módulo de v(t), e então usar as fórmulas
aT=acdot vlvert vrvert, aN=raizlvert arvert^2-aT^2

Passo 2

Derivando componente a componente, obtemos
v(t)=r'(t)=(3,,-1,;2t),
a(t)=v'(t)=(0,;0,;2)

Passo 3

Primeiro o módulo da velocidade:
lvert v(t)rvert=raiz3^2+(-1)^2+(2t)^2 =raiz10+4t^2
A componente tangencial é
aT=acdot vlvert vrvert =(0,0,2)cdot(3,-1,2t)raiz10+4t^2 =4traiz10+4t^2

Passo 4

O módulo da aceleração é
lvert a(t)rvert=raiz0^2+0^2+2^2=2
Logo a componente normal vale
aN =raizlvert arvert^2-aT^2 =raiz4-16t^210+4t^2 =2raiz10raiz10+4t^2

Resposta

aT=4traiz10+4t^2, aN=2raiz10raiz10+4t^2

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