Determine o comportamento assintótico dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
x^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\\\ 3 & 5 \end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de equações diferenciais homogêneo na forma x' = A x, com a matriz
A=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix}
O que nos pede é determinar o comportamento assintótico das soluções — isto é, como as soluções se comportam quando t\to+\infty e a classificação do ponto de equilíbrio x=0 (se é estável, instável, nó, sela, foco/espiral etc.).
Informações relevantes dadas: a matriz A (elementos explícitos).
Perguntas a responder: calcular os autovalores e autovetores, escrever a solução geral real do sistema, e concluir o tipo de equilíbrio e o comportamento assintótico (cresce/decai, espirala, sentido da rotação, frequência).]

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular os autovalores de A. Para isso montamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Calculemos passo a passo:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -1 \\[4pt] 3 & 5-\lambda\end{pmatrix} =(3-\lambda)(5-\lambda)-(-1)\cdot 3.
Desenvolvendo,
(3-\lambda)(5-\lambda)+3 =15-3\lambda-5\lambda+\lambda^2+3 =\lambda^2-8\lambda+18.
Logo o polinômio característico é
\lambda^2-8\lambda+18=0.]

Passo 3

Agora resolvemos a equação quadrática \lambda^2-8\lambda+18=0. O discriminante é
\Delta = (-8)^2-4\cdot 1\cdot 18=64-72=-8.
Como \Delta<0, os autovalores são complexos conjugados. Aplicando a fórmula de Bhaskara,
\lambda=\frac{8\pm\sqrt{-8}}{2}=4\pm i\sqrt{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_1=4+i\sqrt{2},\qquad \lambda_2=4-i\sqrt{2}.
Comentário didático: quando os autovalores são a\pm i\omega, a parte real a controla o crescimento/exponencial ( e^{at}) e a parte imaginária \omega gera oscilações (rotação com frequência angular \omega). Aqui a=4>0, então há crescimento exponencial.

Passo 4

Vamos obter um autovetor associado a \lambda_1=4+i\sqrt{2}. Resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0. Escrevendo a matriz:
A-\lambda_1 I =\begin{pmatrix}3-(4+i\sqrt{2}) & -1 \\[4pt] 3 & 5-(4+i\sqrt{2})\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1-i\sqrt{2} & -1 \\[4pt] 3 & 1-i\sqrt{2}\end{pmatrix}.
Tomando um vetor v=(v_1,v_2)^T, da primeira linha temos
(-1-i\sqrt{2})v_1 - v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_2 = (-1-i\sqrt{2})v_1.
Escolhendo v_1=1 (podemos escalar o autovetor livremente), obtemos
v=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] -1-i\sqrt{2}\end{pmatrix}.
Decompondo v em parte real a e imaginária b:
a=\Re(v)=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] -1\end{pmatrix},\qquad b=\Im(v)=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] -\sqrt{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Transformação complexa → solução real. Uma solução complexa associada a \lambda_1 e v é
x_c(t)=e^{\lambda_1 t}v=e^{(4+i\sqrt{2})t}v=e^{4t}e^{i\sqrt{2}t}v.
As partes real e imaginária de x_c(t) fornecem duas soluções reais linearly independentes. Usando v=a+ib e e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t), obtemos as duas soluções reais bases:
\phi_1(t)=e^{4t}\bigl(a\cos(\sqrt{2}t)-b\sin(\sqrt{2}t)\bigr),
\phi_2(t)=e^{4t}\bigl(a\sin(\sqrt{2}t)+b\cos(\sqrt{2}t)\bigr).
Substituindo a e b explicitamente,
\phi_1(t)=e^{4t}\begin{pmatrix}\cos(\sqrt{2}t) \\[4pt] -\cos(\sqrt{2}t)+\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)\end{pmatrix},
\phi_2(t)=e^{4t}\begin{pmatrix}\sin(\sqrt{2}t) \\[4pt] -\sin(\sqrt{2}t)-\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}t)\end{pmatrix}.
Portanto a solução geral real do sistema é
x(t)=C_1\phi_1(t)+C_2\phi_2(t),
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.
Didática: aqui o fator e^{4t} mostra crescimento/decadência exponencial; os cossenos e senos dentro indicam rotação/oscilação com frequência angular \omega=\sqrt{2}.]

Passo 6

Análise do comportamento assintótico a partir da solução geral:
  • O fator exponencial é e^{4t} com coeficiente positivo 4. Assim, para t\to+\infty temos e^{4t}\to+\infty e todas as soluções (exceto a solução identicamente nula) tendem a infinito em módulo: as trajetórias afastam-se do ponto de equilíbrio.
  • Como há fatores \cos(\sqrt{2}t) e \sin(\sqrt{2}t), o movimento é oscilatório enquanto o fator e^{4t} faz a amplitude crescer — isto é, as trajetórias descrevem espirais que se afastam do origem (espiral instável, também chamado de foco/espiral fonte).
  • A frequência angular da rotação é \omega=\sqrt{2}, portanto o período das oscilações é
T=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=\pi\sqrt{2}.
  • Sentido da rotação: para decidir o sentido, avaliamos o campo vetorial em um ponto simples. Em x=(1,0) temos x'=A(1,0)^T=(3,3)^T, ou seja, a componente angular é positiva (vai para cima), indicando que a trajetória gira no sentido anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio).
  • Comportamento para t\to-\infty: como e^{4t}\to 0 quando t\to -\infty, as trajetórias espiralam para dentro e tendem ao ponto de equilíbrio na origem quando se segue o fluxo para o passado.

Passo 7

Classificação final do ponto de equilíbrio e resumo das conclusões:
  • Como os autovalores têm parte real positiva ( 4>0), o ponto de equilíbrio x=0 é instável.
  • A presença da parte imaginária não nula implica comportamento em espiral; portanto x=0 é um foco espiral instável (fonte espiral).
  • Trajetórias: espiralam para fora quando t\to+\infty (amplitude cresce como e^{4t}), e espiralam para dentro quando t\to-\infty.
  • Frequência angular da rotação: \omega=\sqrt{2}; período T=\pi\sqrt{2}.
  • Sentido de rotação: anti-horário.

Resposta

Autovalores: \lambda=4\pm i\sqrt{2}.
Solução geral real:
x(t)=C_1 e^{4t}\begin{pmatrix}\cos(\sqrt{2}t) \\[4pt] -\cos(\sqrt{2}t)+\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)\end{pmatrix} + C_2 e^{4t}\begin{pmatrix}\sin(\sqrt{2}t) \\[4pt] -\sin(\sqrt{2}t)-\sqrt{2}\cos(\sqrt{2}t)\end{pmatrix}.
Origem: foco/espiral instável (fonte); as soluções espiralam para fora quando t\to+\infty e para dentro quando t\to-\infty.
Frequência angular: \omega=\sqrt{2}, período T=\pi\sqrt{2}. Sentido de rotação: anti-horário.]

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