O que nos pede é determinar o comportamento assintótico das soluções — isto é, como as soluções se comportam quando t\to+\infty e a classificação do ponto de equilíbrio x=0 (se é estável, instável, nó, sela, foco/espiral etc.).
Informações relevantes dadas: a matriz A (elementos explícitos).
Perguntas a responder: calcular os autovalores e autovetores, escrever a solução geral real do sistema, e concluir o tipo de equilíbrio e o comportamento assintótico (cresce/decai, espirala, sentido da rotação, frequência).]
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular os autovalores de A. Para isso montamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Calculemos passo a passo:
Comentário didático: quando os autovalores são a\pm i\omega, a parte real a controla o crescimento/exponencial (e^{at}) e a parte imaginária \omega gera oscilações (rotação com frequência angular \omega). Aqui a=4>0, então há crescimento exponencial.
Passo 4
Vamos obter um autovetor associado a \lambda_1=4+i\sqrt{2}. Resolvemos (A-\lambda_1 I)v=0. Escrevendo a matriz:
As partes real e imaginária de x_c(t) fornecem duas soluções reais linearly independentes. Usando v=a+ib e e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t), obtemos as duas soluções reais bases:
Didática: aqui o fator e^{4t} mostra crescimento/decadência exponencial; os cossenos e senos dentro indicam rotação/oscilação com frequência angular \omega=\sqrt{2}.]
Passo 6
Análise do comportamento assintótico a partir da solução geral:
O fator exponencial é e^{4t} com coeficiente positivo 4. Assim, para t\to+\infty temos e^{4t}\to+\infty e todas as soluções (exceto a solução identicamente nula) tendem a infinito em módulo: as trajetórias afastam-se do ponto de equilíbrio.
Como há fatores \cos(\sqrt{2}t) e \sin(\sqrt{2}t), o movimento é oscilatório enquanto o fator e^{4t} faz a amplitude crescer — isto é, as trajetórias descrevem espirais que se afastam do origem (espiral instável, também chamado de foco/espiral fonte).
A frequência angular da rotação é \omega=\sqrt{2}, portanto o período das oscilações é
T=\frac{2\pi}{\sqrt{2}}=\pi\sqrt{2}.
Sentido da rotação: para decidir o sentido, avaliamos o campo vetorial em um ponto simples. Em x=(1,0) temos x'=A(1,0)^T=(3,3)^T, ou seja, a componente angular é positiva (vai para cima), indicando que a trajetória gira no sentido anti-horário (contrário aos ponteiros do relógio).
Comportamento para t\to-\infty: como e^{4t}\to 0 quando t\to -\infty, as trajetórias espiralam para dentro e tendem ao ponto de equilíbrio na origem quando se segue o fluxo para o passado.
Passo 7
Classificação final do ponto de equilíbrio e resumo das conclusões:
Como os autovalores têm parte real positiva (4>0), o ponto de equilíbrio x=0 é instável.
A presença da parte imaginária não nula implica comportamento em espiral; portanto x=0 é um foco espiral instável (fonte espiral).
Trajetórias: espiralam para fora quando t\to+\infty (amplitude cresce como e^{4t}), e espiralam para dentro quando t\to-\infty.
Frequência angular da rotação: \omega=\sqrt{2}; período T=\pi\sqrt{2}.