Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=\left\langle 2 t, t^{2}, \frac{1}{3} t^{3}\right\rangle, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\mathbf{r}(t)=\left\langle 2t,\; t^{2},\; \tfrac{1}{3}t^{3}\right\rangle
no intervalo 0\leqslant t\leqslant 1. A pergunta é: determinar o comprimento da curva para esse intervalo de parâmetro.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{componente em }x: \; x(t)=2t,
\text{componente em }y: \; y(t)=t^{2},
\text{componente em }z: \; z(t)=\tfrac{1}{3}t^{3},
\text{intervalo de }t: \; [0,1].

Passo 2

O comprimento de arco de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) em a\leqslant t\leqslant b é dado pela fórmula
L=\int_{a}^{b}\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert \,dt,
onde \mathbf{r}'(t) é a derivada componente a componente e \left\lVert \cdot\right\rVert é a norma euclidiana do vetor.
Vamos calcular \mathbf{r}'(t). Derivando cada componente:
\frac{d}{dt}(2t)=2,\qquad \frac{d}{dt}(t^{2})=2t,\qquad \frac{d}{dt}\!\left(\tfrac{1}{3}t^{3}\right)=t^{2}.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\left\langle 2,\;2t,\;t^{2}\right\rangle.

Passo 3

Agora calculamos a norma de \mathbf{r}'(t):
\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert=\sqrt{2^{2}+(2t)^{2}+(t^{2})^{2}} =\sqrt{4+4t^{2}+t^{4}}.
Note que o polinômio dentro da raiz é um quadrado perfeito, pois
4+4t^{2}+t^{4}=(t^{2}+2)^{2}.
Assim
\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert=\sqrt{(t^{2}+2)^{2}}=\lvert t^{2}+2\rvert.
Como t^{2}+2>0 para todo t, temos simplesmente
\left\lVert \mathbf{r}'(t)\right\rVert=t^{2}+2.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco no intervalo 0\leqslant t\leqslant 1,
L=\int_{0}^{1}(t^{2}+2)\,dt.
Explicando a integral: \int t^{2}\,dt=\tfrac{t^{3}}{3} (regra da potência: \int t^{n}\,dt=\tfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1) e \int 2\,dt=2t (constante sai da integral).

Passo 5

Calculando a primitiva e avaliando nos extremos:
\int_{0}^{1}(t^{2}+2)\,dt=\left[\tfrac{t^{3}}{3}+2t\right]_{0}^{1} =\left(\tfrac{1^{3}}{3}+2\cdot 1\right)-\left(\tfrac{0^{3}}{3}+2\cdot 0\right) =\tfrac{1}{3}+2=\tfrac{7}{3}.

Resposta

\tfrac{7}{3}

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