Determine o comportamento assintótico dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
x^{\prime}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 9 \\\\ -4 & -3 \end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
x' = A x,\qquad A=\begin{pmatrix}3 & 9\\[4pt]-4 & -3\end{pmatrix},
e pede para determinar o comportamento assintótico das soluções (isto é, classificar a origem e descrever como as soluções se comportam quando t varia).
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes da matriz A são a_{11}=3, a_{12}=9, a_{21}=-4, a_{22}=-3. Nada mais foi dado.]

Passo 2

Vamos encontrar os autovalores de A. Os autovalores são as raízes do polinômio característico
\det(A-\lambda I)=0.
Calculemos \det(A-\lambda I). Temos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & 9\\[4pt]-4 & -3-\lambda\end{pmatrix},
então
\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(-3-\lambda)-9\cdot(-4).
Desenvolvendo o produto:
(3-\lambda)(-3-\lambda) = -9 + \lambda^2,
pois os termos em \lambda se cancelam. Logo
\det(A-\lambda I)= -9 + \lambda^2 + 36 = \lambda^2 + 27.
Portanto os autovalores satisfazem
\lambda^2 + 27 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = \pm i\sqrt{27} = \pm i\,3\sqrt{3}.]

Passo 3

Interpretação dos autovalores (aqui eu te explico a ideia geral): para um sistema linear x'=Ax, o comportamento das soluções é controlado pelos autovalores de A. Em particular:
  • se algum autovalor tem parte real positiva, há soluções que crescem exponencialmente (origem instável);
  • se todos os autovalores têm parte real negativa, soluções tendem ao zero (origem assintoticamente estável);
  • se autovalores têm parte real zero, pode ocorrer comportamento oscilatório e a estabilidade precisa ser examinada com cuidado.
No nosso caso os autovalores são puramente imaginários conjugados, \lambda=\pm i\omega com \omega=3\sqrt{3}. Isso indica oscilações harmônicas (sem termo exponencial de crescimento/decrescimento).

Passo 4

Para mostrar explicitamente que as soluções são periódicas e para obter fórmulas concretas, vamos reduzir o sistema a uma equação de segunda ordem para x_1. Do sistema temos
x_1' = 3x_1 + 9x_2,
x_2' = -4x_1 -3x_2.
Derivando a primeira equação em relação a t:
x_1'' = 3x_1' + 9x_2'.
Substituindo x_1' e x_2' nas expressões acima:
x_1'' = 3(3x_1+9x_2) + 9(-4x_1-3x_2).
Agora desenvolvendo:
x_1'' = 9x_1 +27x_2 -36x_1 -27x_2 = -27x_1.
Portanto obtemos a equação de oscilador harmônico simples
x_1'' + 27 x_1 = 0.
Esta é uma equação muito conhecida: soluções gerais são combinações de cosseno e seno com frequência \omega=\sqrt{27}=3\sqrt{3}:
x_1(t) = C_1\cos(3\sqrt{3}\,t) + C_2\sin(3\sqrt{3}\,t),
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora expressamos x_2(t) a partir de x_1. Da relação x_1' = 3x_1 + 9x_2 temos
x_2 = \frac{x_1' - 3x_1}{9}.
Substituindo x_1(t) acima e sua derivada x_1'(t) obtemos
x_1'(t) = -3\sqrt{3}\,C_1\sin(3\sqrt{3}\,t) + 3\sqrt{3}\,C_2\cos(3\sqrt{3}\,t),
portanto
x_2(t) = \frac{-3\sqrt{3}\,C_1\sin(3\sqrt{3}\,t) + 3\sqrt{3}\,C_2\cos(3\sqrt{3}\,t) - 3\big(C_1\cos(3\sqrt{3}\,t)+C_2\sin(3\sqrt{3}\,t)\big)}{9}.
Podemos simplificar um pouco se quisermos, mas o ponto essencial é: ambas as componentes x_1(t) e x_2(t) são combinações de seno e cosseno com frequência 3\sqrt{3}. Logo todas as soluções não-triviais são periódicas com período
T=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}.

Passo 6

Conclusões sobre estabilidade e comportamento assintótico (explicando o que isso significa na prática): como os autovalores têm parte real zero e são não degenerados (são dois autovalores distintos \pm i\omega), o sistema é linearizável para um centro — as soluções são órbitas fechadas (ciclos periódicos) ao redor da origem. Isso implica que:
  • a origem é estável no sentido de Lyapunov (pequenas perturbações permanecem pequenas),
  • a origem NÃO é assintoticamente estável (as soluções não tendem para a origem quando t\to\infty; elas permanecem oscilando),
  • não há crescimento exponencial nem decaimento exponencial: as soluções são limitadas e periódicas.

Resposta

A origem é um centro linear: as soluções não-triviais são periódicas (movimento harmônico) com frequência 3\sqrt{3} e período T=\dfrac{2\pi}{3\sqrt{3}}. A origem é estável (Lyapunov) porém não assintoticamente estável.

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