1. Usando sistema de equações, considere a equação
y^{\prime \prime}+(3-a) y^{\prime}-2(a-1) y=0 .
Determine condições sobre o parâmetro a que impliquem que todas as soluções da equação tendem a zero quando t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y''+(3-a)y'-2(a-1)y=0
e pede: determinar condições sobre o parâmetro \,a\, tais que todas as soluções da equação tendam a zero quando t\to\infty.\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{equação: }y''+(3-a)y'-2(a-1)y=0.çã
O objetivo explícito é achar condições em \,a\, que garantam que todo solução y(t) satisfaça \lim_{t\to\infty} y(t)=0.

Passo 2

Transformamos a equação de segunda ordem num sistema de primeira ordem (isto é o que significa “usar sistema de equações”). Defina as variáveis de estado
x_1=y,\qquad x_2=y'.
Então
x_1'=x_2,
x_2'=y''=-(3-a)y'+2(a-1)y=-(3-a)x_2+2(a-1)x_1.
Escrevendo em forma matricial \,x' = A x\, com x=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}, temos
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 2(a-1) & -(3-a)\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora explico por que estudar os autovalores de A resolve o problema: para um sistema linear homogêneo x'=Ax com matriz constante, as soluções são combinações lineares de termos do tipo e^{\lambda t}v, onde \lambda é um autovalor de A e v o autovetor associado. Portanto, todas as soluções tendem a zero quando t\to\infty se, e somente se, todos os autovalores \lambda de A tiverem parte real negativa. Isso é chamado de estabilidade assintótica do sistema linear.

Passo 4

Para uma matriz 2\times2 as condições para que todos os autovalores tenham parte real negativa podem ser expressas em termos do traço e do determinante da matriz (critério de Routh–Hurwitz para ordem 2): todos os autovalores têm parte real negativa se, e somente se,
\operatorname{tr}(A)<0\quad\text{e}\quad\det(A)>0.
Calculemos \operatorname{tr}(A) e \det}(A) para a matriz A encontrada:
\operatorname{tr}(A)=0+(-(3-a))=a-3,
\det(A)=0\cdot (-(3-a)) - 1\cdot 2(a-1)=-2(a-1).",

Passo 5

Aplique as desigualdades do Passo 4 às expressões em função de a:
  1. \operatorname{tr}(A)<0 implica
a-3<0\quad\Longrightarrow\quad a<3.
  1. \det(A)>0 implica
-2(a-1)>0\quad\Longrightarrow\quad a-1<0\quad\Longrightarrow\quad a<1.
A condição que satisfaz ambas é a interseção das duas desigualdades, isto é
a<1.
Verificação das fronteiras: se a=1 então \det(A)=0 e os autovalores são 0 e -2, logo existe um modo constante (autovalor zero) que não tende a zero: portanto a=1 não serve. Para 1<a<3 o determinante é negativo e os autovalores têm sinais opostos (há um modo instável), então também não servem. Para a\ge3 o traço não é negativo, portanto há autovalor com parte real não negativa. Assim a única faixa que garante decaimento de todas as soluções é a<1.

Passo 6

Interpretação prática: quando a<1 os dois autovalores têm parte real negativa (podendo ser reais negativos distintos ou conjugados complexos com parte real negativa), então todas as soluções decaem exponencialmente para zero. Para a\ge1 existe pelo menos um autovalor com parte real não negativa, portanto nem todas as soluções tendem a zero.

Resposta

a<1

Exercícios relacionados