- Usando sistema de equações, considere a equação
Determine condições sobre o parâmetro
que impliquem que todas as soluções da equação tendem a zero quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede: determinar condições sobre o parâmetro
tais que todas as soluções da equação tendam a zero quando
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O objetivo explícito é achar condições em
que garantam que todo solução
satisfaça
.
Passo 2
Transformamos a equação de segunda ordem num sistema de primeira ordem (isto é o que significa “usar sistema de equações”). Defina as variáveis de estado
Então
Escrevendo em forma matricial
com
, temos
Passo 3
Agora explico por que estudar os autovalores de
resolve o problema: para um sistema linear homogêneo
com matriz constante, as soluções são combinações lineares de termos do tipo
, onde
é um autovalor de
e
o autovetor associado. Portanto, todas as soluções tendem a zero quando
se, e somente se, todos os autovalores
de
tiverem parte real negativa. Isso é chamado de estabilidade assintótica do sistema linear.
Passo 4
Para uma matriz
as condições para que todos os autovalores tenham parte real negativa podem ser expressas em termos do traço e do determinante da matriz (critério de Routh–Hurwitz para ordem 2): todos os autovalores têm parte real negativa se, e somente se,
Calculemos
e
para a matriz
encontrada:
Passo 5
Aplique as desigualdades do Passo 4 às expressões em função de
:
-
implica
-
implica
A condição que satisfaz ambas é a interseção das duas desigualdades, isto é
Verificação das fronteiras: se
então
e os autovalores são
e
, logo existe um modo constante (autovalor zero) que não tende a zero: portanto
não serve. Para
o determinante é negativo e os autovalores têm sinais opostos (há um modo instável), então também não servem. Para
o traço não é negativo, portanto há autovalor com parte real não negativa. Assim a única faixa que garante decaimento de todas as soluções é
.
Passo 6
Interpretação prática: quando
os dois autovalores têm parte real negativa (podendo ser reais negativos distintos ou conjugados complexos com parte real negativa), então todas as soluções decaem exponencialmente para zero. Para
existe pelo menos um autovalor com parte real não negativa, portanto nem todas as soluções tendem a zero.