x' = A x,\qquad A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix},
e pede o comportamento assintótico das soluções quando t\to+\infty.
Informações relevantes que temos: os elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=-1, a_{21}=3, a_{22}=-3. Queremos descobrir para quais pontos as soluções convergem (se convergem), qual é a taxa de decaimento/explosão e classificar o tipo de equilíbrio (por exemplo: estável, assintoticamente estável, linha de equilíbrios, etc.).]
Passo 2
Vamos encontrar os autovalores de A. Primeiro calcule a traça e o determinante:
Comentário didático: autovalores determinam as potências exponenciais e^{\lambda t} que compõem a solução. \lambda=0 dá um modo constante no tempo; \lambda=-2 dá um modo que decai exponencialmente como e^{-2t}.
daqui 3v_1-v_2=0\Rightarrow v_2=3v_1. Um autovetor é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Como os autovalores são distintos, a base de autovetores diagonaliza A (ou seja, as soluções podem ser escritas como combinação linear dos modos acima).]
Passo 4
Forma geral da solução: combinamos os modos exponenciais multiplicando pelos autovetores. Assim, para constantes C_1,C_2,
Didática: o termo com e^{-2t} vai para zero quando t\to\infty (decai exponencialmente), enquanto o termo com e^{0t}=1 permanece constante. Portanto a componente associada a \lambda=-2 é transiente; a associada a \lambda=0 determina o comportamento assintótico.]
Passo 5
Agora expressamos as constantes C_1,C_2 em função da condição inicial x(0)=(x_0,y_0). Pelo t=0 temos
Interpretação geométrica e classificação: a reta \{(s,s):s\in\mathbb{R}\} (ou seja, y=x) é o núcleo de A e consiste em pontos de equilíbrio (A x=0 para x nessa reta). Todas as soluções convergem exponencialmente (com taxa e^{-2t}) para algum ponto nessa reta, determinado pela projeção do estado inicial naquela direção. O ponto de equilíbrio específico atingido depende de x_0,y_0. Em particular, o ponto 0 (origem) é um equilíbrio, mas não é assintoticamente estável isoladamente: soluções iniciadas fora da reta y=x não convergem para a origem, convergem para outro ponto da reta. Portanto o sistema tem uma linha de equilíbrios estáveis; as direções transversais a essa reta são atraídas exponencialmente (autovalor -2), a direção ao longo da reta é neutra (autovalor 0).]
ou seja, todas as trajetórias convergem exponencialmente para a reta de equilíbrios y=x (decay rate e^{-2t} na direção transversal). O sistema tem uma linha de pontos de equilíbrio estáveis; o equilíbrio isolado na origem não é assintoticamente estável.]