Determine o comportamento assintótico dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
x^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 1 & -1 \\\\ 3 & -3 \end{array}\right) x .

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear autônomo
x' = A x,\qquad A=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix},
e pede o comportamento assintótico das soluções quando t\to+\infty.
Informações relevantes que temos: os elementos de A são a_{11}=1, a_{12}=-1, a_{21}=3, a_{22}=-3. Queremos descobrir para quais pontos as soluções convergem (se convergem), qual é a taxa de decaimento/explosão e classificar o tipo de equilíbrio (por exemplo: estável, assintoticamente estável, linha de equilíbrios, etc.).]

Passo 2

Vamos encontrar os autovalores de A. Primeiro calcule a traça e o determinante:
\text{tr}(A)=1+(-3)=-2,\qquad \det(A)=1\cdot(-3)-(-1)\cdot3=-3+3=0.
A equação característica é
\lambda^2 - \text{tr}(A)\,\lambda + \det(A)=0,
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\lambda^2 -(-2)\lambda + 0 = \lambda^2+2\lambda=0.
As raízes são
\lambda(\lambda+2)=0\quad\Rightarrow\quad \lambda_1=0,\\ \lambda_2=-2.
Comentário didático: autovalores determinam as potências exponenciais e^{\lambda t} que compõem a solução. \lambda=0 dá um modo constante no tempo; \lambda=-2 dá um modo que decai exponencialmente como e^{-2t}.

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para \lambda_1=0 resolvemos A v=0:
\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}
da primeira equação vem v_1-v_2=0, então v_1=v_2. Um autovetor associado é
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Para \lambda_2=-2 resolvemos (A+2I)v=0:
\begin{pmatrix}1+2 & -1\\[4pt] 3 & -3+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix},
daqui 3v_1-v_2=0\Rightarrow v_2=3v_1. Um autovetor é
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Como os autovalores são distintos, a base de autovetores diagonaliza A (ou seja, as soluções podem ser escritas como combinação linear dos modos acima).]

Passo 4

Forma geral da solução: combinamos os modos exponenciais multiplicando pelos autovetores. Assim, para constantes C_1,C_2,
x(t)=C_1\,v^{(1)}e^{0\cdot t}+C_2\,v^{(2)}e^{-2t}=C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Didática: o termo com e^{-2t} vai para zero quando t\to\infty (decai exponencialmente), enquanto o termo com e^{0t}=1 permanece constante. Portanto a componente associada a \lambda=-2 é transiente; a associada a \lambda=0 determina o comportamento assintótico.]

Passo 5

Agora expressamos as constantes C_1,C_2 em função da condição inicial x(0)=(x_0,y_0). Pelo t=0 temos
\begin{pmatrix}x_0\\[4pt]y_0\end{pmatrix}=C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Isto gera o sistema
x_0=C_1+C_2,\qquad y_0=C_1+3C_2.
Subtraindo a primeira da segunda obtemos y_0-x_0=2C_2, então
C_2=\frac{y_0-x_0}{2}.
Em seguida
C_1=x_0-C_2=\;x_0-\frac{y_0-x_0}{2}=\frac{3x_0-y_0}{2}.
Essas fórmulas nos permitem escrever a solução para qualquer condição inicial explicitamente.]

Passo 6

Com C_1 e C_2 encontrados, analisamos o limite quando t\to\infty. Como e^{-2t}\to0, temos
\lim_{t\to\infty} x(t)=C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\frac{3x_0-y_0}{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Interpretação geométrica e classificação: a reta \{(s,s):s\in\mathbb{R}\} (ou seja, y=x) é o núcleo de A e consiste em pontos de equilíbrio ( A x=0 para x nessa reta). Todas as soluções convergem exponencialmente (com taxa e^{-2t}) para algum ponto nessa reta, determinado pela projeção do estado inicial naquela direção. O ponto de equilíbrio específico atingido depende de x_0,y_0. Em particular, o ponto 0 (origem) é um equilíbrio, mas não é assintoticamente estável isoladamente: soluções iniciadas fora da reta y=x não convergem para a origem, convergem para outro ponto da reta. Portanto o sistema tem uma linha de equilíbrios estáveis; as direções transversais a essa reta são atraídas exponencialmente (autovalor -2), a direção ao longo da reta é neutra (autovalor 0).]

Resposta

A solução geral é
x(t)=C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}+C_2 e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},
com
C_1=\frac{3x_0-y_0}{2},\qquad C_2=\frac{y_0-x_0}{2}
para x(0)=(x_0,y_0).
O comportamento assintótico é
\lim_{t\to\infty}x(t)=\frac{3x_0-y_0}{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
ou seja, todas as trajetórias convergem exponencialmente para a reta de equilíbrios y=x (decay rate e^{-2t} na direção transversal). O sistema tem uma linha de pontos de equilíbrio estáveis; o equilíbrio isolado na origem não é assintoticamente estável.]

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