Determine o comportamento assintótico dos seguintes sistemas de equações diferenciais:
x^{\prime}=\left(\begin{array}{ll} 3 & -4 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right) x

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo
x' = A x
com
A=\begin{pmatrix}3 & -4\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix},
e pede para determinar o comportamento assintótico dos seus soluções (isto é, a estabilidade/tipo do equilíbrio na origem e como as soluções se comportam quando t\to+\infty e t\to-\infty).\n
Informações relevantes: a matriz A é 2\times2 e constante; o ponto de equilíbrio a investigar é a origem x=0. Não há mais dados adicionais.]

Passo 2

Vamos calcular os autovalores (eigenvalues) de A. Eles são as raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Escrevendo o determinante,
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -4\\[4pt]1 & -1-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(-1-\lambda)-(-4)\cdot 1.
Expandindo,
(3-\lambda)(-1-\lambda)+4=\bigl(\lambda^2-2\lambda-3\bigr)+4=\lambda^2-2\lambda+1=(\lambda-1)^2.
Logo o autovalor é \lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.]

Passo 3

Agora achamos os autovetores associados a \lambda=1. Resolvemos (A-I)v=0. A matriz A-I é
A-I=\begin{pmatrix}2 & -4\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.
Resolvendo (A-I)\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix} dá a equação 2v_1-4v_2=0, ou v_1=2v_2. Podemos escolher o autovetor
v=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Como há apenas um autovetor linearmente independente, a multiplicidade geométrica é 1 (menor que a algébrica), portanto A não é diagonalizável.]

Passo 4

Quando uma matriz 2\times2 tem autovalor repetido e só um autovetor, ela possui uma cadeia de Jordan de tamanho 2. Precisamos de um autovetor generalizado w que satisfaça
(A-I)w = v.
Escrevendo w=\begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix} e usando A-I acima,
\begin{pmatrix}2 & -4\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
As equações são 2a-4b=2 e a-2b=1 (mesma equação duplicada). Tomando b=0 obtemos a=1, então podemos escolher
w=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para cadeias de Jordan de comprimento 2 com autovalor \lambda=1, a forma geral das soluções é
x(t)=e^{\lambda t}\bigl(c_1 v + c_2 (t v + w)\bigr).
Substituindo \lambda=1, v e w que encontramos:
x(t)=e^{t}\left(c_1\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}+c_2\left(t\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}\right)\right),
onde c_1,c_2 são constantes determinadas pela condição inicial. Outra forma equivalente (usando N=A-I, que é nilpotente com N^2=0) é a exponencial matricial
e^{At}=e^{t}e^{Nt}=e^{t}(I+Nt),
o que leva à matriz explícita
e^{At}=e^{t}\begin{pmatrix}1+2t & -4t\\[4pt] t & 1-2t\end{pmatrix}.]

Passo 6

Analisando o comportamento assintótico a partir da expressão de x(t):
  • Para t\to+\infty: o fator e^{t} domina e cresce exponencialmente, mesmo multiplicado por polinômios em t. Portanto, para quaisquer constantes c_1,c_2 que não sejam simultaneamente zero, \|x(t)\|\to+\infty. Conclusão: a origem é instável e todas as soluções não-triviais fogem para o infinito exponencialmente.
  • Para t\to-\infty: temos e^{t}\to0 e também t e^{t}\to0, logo x(t)\to0. Mais precisamente, quando nos aproximamos da origem por t\to-\infty as trajetórias tornam-se tangentes à direção do autovetor v=\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix} (porque o termo proporcional a t v domina, em razão do fator t dentro do parênteses, dando a tangência na direção de v).
  • Classificação padrão: autovalor real repetido com apenas um autovetor — chama-se nó impróprio (ou nó degenerado). Como \lambda=1>0, é um nó impróprio instável (um “fonte” degenerado), também chamado de nó degenerado repelente.]

Resposta

Origem: nó impróprio (degenerado) instável (fonte). Todas as soluções não-triviais divergem exponencialmente quando t\to+\infty e tendem a 0 quando t\to-\infty, aproximando-se tangencialmente à direção do autovetor \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}.\n
Forma geral das soluções:
x(t)=e^{t}\left(c_1\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}+c_2\left(t\begin{pmatrix}2\\[2pt]1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\end{pmatrix}\right)\right),
com c_1,c_2\in\mathbb{R}.]

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