Determine o comprimento do arco.
19. \mathbf{r}(t)=\left\langle\frac{1}{2} t,-1+\frac{4}{3} t, 1-\frac{3}{4} t\right\rangle, 0 \leqslant t \leqslant 1;
x=\frac{1}{2} t, y=-1+\frac{4}{3} t, z=1-\frac{3}{4} t, 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva parametrizada
\mathbf{r}(t)=\Bigl\langle \tfrac12\,t,\,-1+\tfrac{4}{3}\,t,\;1-\tfrac{3}{4}\,t\Bigr\rangle, \quad 0\le t\le1.
O conteúdo é comprimento de arco de uma curva em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos usar a fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\mathbf{r}'(t) =\Bigl\langle \tfrac{d}{dt}\bigl(\tfrac12\,t\bigr),\; \tfrac{d}{dt}\bigl(-1+\tfrac{4}{3}\,t\bigr),\; \tfrac{d}{dt}\bigl(1-\tfrac{3}{4}\,t\bigr)\Bigr\rangle =\bigl\langle \tfrac12,\;\tfrac{4}{3},\;-\tfrac{3}{4}\bigr\rangle.

Passo 3

Como \mathbf{r}'(t) é constante, a norma é
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(-\tfrac{3}{4}\Bigr)^2} =\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{9} + \frac{9}{16}} =\sqrt{\frac{373}{144}} =\frac{\sqrt{373}}{12}.

Passo 4

Substituímos na integral de comprimento de arco:
L=\int_{0}^{1}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt =\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{373}}{12}\,dt =\frac{\sqrt{373}}{12}\,\bigl[t\bigr]_{0}^{1} =\frac{\sqrt{373}}{12}.

Resposta

L = \frac{\sqrt{373}}{12}.

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