Mostre pela definição de limite que:
\lim _{x \rightarrow-3}\left(x^{2}+3 x\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição de limite (ε–δ), que
\lim_{x\to-3}\bigl(x^{2}+3x\bigr)=0.
Isto significa: dado qualquer \varepsilon>0, precisamos encontrar um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x+3|<\delta, valha
\bigl|x^{2}+3x-0\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Computemos a expressão que queremos controlar:
\bigl|x^{2}+3x\bigr| =\bigl|x(x+3)\bigr| =|x|\;|x+3|.

Passo 3

Precisamos expressar |x| em função de |x+3|. Observe que
|x|=|(x+3)-3|\le |x+3|+3.
Logo,
\bigl|x^{2}+3x\bigr|\le\bigl(|x+3|+3\bigr)\,|x+3|.

Passo 4

Para simplificar, imponhamos que \delta\le1. Assim, se |x+3|<\delta\le1, segue |x+3|<1 e então
|x+3|+3<1+3=4.
Portanto
\bigl|x^{2}+3x\bigr|\le4\,|x+3|.

Passo 5

Queremos \bigl|x^{2}+3x\bigr|<\varepsilon. Pela desigualdade acima basta ter
4\,|x+3|<\varepsilon \quad\Longleftrightarrow\quad |x+3|<\frac{\varepsilon}{4}.
Logo, escolhendo
\delta=\min\!\Bigl(1,\;\frac{\varepsilon}{4}\Bigr),
asseguramos que sempre que 0<|x+3|<\delta teremos \bigl|x^{2}+3x\bigr|<\varepsilon.

Resposta

Tomando \delta=\min\bigl(1,\varepsilon/4\bigr), a definição de limite é satisfeita, e portanto
\lim_{x\to-3}\bigl(x^{2}+3x\bigr)=0.

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