Questão 2 - (2,0): Teste a série quanto a convergência ou divergência:
1-1 cdot 33!+1 cdot 3 cdot 55!-1 cdot 3 cdot 5 cdot 77!+cdots+(-1)^n-1 1 cdot 3 cdot 5 cdots cdots(2 n-1)(2 n-1)!+cdots

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita do tipo:
1 - 1 cdot 33! + 1 cdot 3 cdot 55! - 1 cdot 3 cdot 5 cdot 77! + cdots + (-1)^n-1 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-1)! + cdots
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar Testes de Convergência de Séries, especificamente o Teste da Série Alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, têm sinais positivos e negativos intercalados. No nosso caso, percebemos que os termos têm , o que confirma que é uma série alternada.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da série, que é:
an = (-1)^n-1 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-1)!
Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
  1. O limite do termo positivo tende a zero quando tende ao infinito.
  2. Os termos positivos são decrescentes.

Passo 4

Vamos calcular o limite de limn to infty 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)(2n-1)! :
bn = (2n)!2^n n! (2n-1)! = 2n2^n n!
Observamos que o numerador limn to infty 2n2^n n! = 0 é equivalente a . Então:
Sabemos que cresce muito mais rápido que , então:
Então, o primeiro critério do teste está satisfeito.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se os termos são decrescentes. Vamos observar que à medida que aumenta, o denominador cresce mais rápido que o numerador , fazendo com que diminua. Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 6

Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada estão satisfeitos (limite zero e termos decrescentes), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série apresentada converge.

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