Questão 2 - (2,0): Teste a série quanto a convergência ou divergência:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita do tipo:
O objetivo é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar Testes de Convergência de Séries, especificamente o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a série é alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, têm sinais positivos e negativos intercalados. No nosso caso, percebemos que os termos têm
, o que confirma que é uma série alternada.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da série, que é:
Para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar duas coisas:
- O limite do termo positivo
tende a zero quando tende ao infinito. - Os termos positivos
são decrescentes.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
:
Observamos que o numerador
é equivalente a
. Então:
Sabemos que
cresce muito mais rápido que
, então:
Então, o primeiro critério do teste está satisfeito.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se os termos
são decrescentes. Vamos observar que à medida que
aumenta, o denominador
cresce mais rápido que o numerador
, fazendo com que
diminua. Portanto, os termos são decrescentes.
Passo 6
Como ambos os critérios do Teste da Série Alternada estão satisfeitos (limite zero e termos decrescentes), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série apresentada converge.