Os principais estudos sobre derivadas foram desenvolvidos por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais ideias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano.
Usando os conhecimentos estudados sobre as derivadas, determine a reta tangente à curva y=x^3-x, no ponto P(-1,0) e assinale a alternativa correta:
A y=-2 x+1
B y=2 x+2
c y=-2 x+2
D. y=-2 x-2
E y=2 x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a reta tangente à curva no ponto . Vamos usar o conteúdo de derivadas para descobrir qual é a reta que toca a curva nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que “tocaa” a curva nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, usamos a derivada da função.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função y' = ddx(x^3 - x) = 3x^2 - 1 . A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto .

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da curva no ponto y'(-1) = 3(-1)^2 - 1 = 3(1) - 1 = 3 - 1 = 2 substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 5

Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e o ponto y - 0 = 2(x - (-1)) y = 2(x + 1) y = 2x + 2 , podemos usar a fórmula da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é . Portanto, a alternativa correta é a B.

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