Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
x y^prime(x)=(1-y(x)^2)^1 / 2.

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem separável
A equação é
x,y'(x)=raiz1 - y(x)^2
O conteúdo aqui é separação de variáveis em ODEs e integração de primitivadas específicas (arcsin e ln).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a derivada como y'(x)=dydx e separamos variáveis: dividimos ambos os lados por raiz1 - y^2 e multiplicamos por dx e por 1/x:
dyraiz1 - y^2=dxx
Aqui entendemos que estamos assumindo xneq0 e |y|<1.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Do lado esquerdo temos a primitiva de 1/raiz1 - u^2, que é arcsin(u). Do lado direito, a primitiva de 1/x é ln|x|. Então:
integraldyraiz1 - y^2=integraldxx
arcsin(y)=ln|x| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos a função seno em ambos os lados:
y=sinl(ln|x| + Cr)
Podemos absorver constantes de fase em C, pois sin(A+C)=sin(A+ C') com C'=C.

Passo 5

Concluindo, a solução geral da ODE é
y(x)=\sin\bigl(\ln|x| + C\bigr),
com C constante real e domínio x>0 ou x<0 para manter ln|x| definido.

Resposta

y(x)=\sin\bigl(\ln|x| + C\bigr)

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