Use as técnicas abordadas em sala de aula para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.
.
Passo 1
O exercício pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem separável
A equação é
A equação é
O conteúdo aqui é separação de variáveis em ODEs e integração de primitivadas específicas (arcsin e ln).
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a derivada como
e separamos variáveis: dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
e por
:
Aqui entendemos que estamos assumindo
e
.
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Do lado esquerdo temos a primitiva de
, que é
. Do lado direito, a primitiva de
é
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para isolar
, aplicamos a função seno em ambos os lados:
Podemos absorver constantes de fase em
, pois
com
.
Passo 5
Concluindo, a solução geral da ODE é
y(x)=\sin\bigl(\ln|x| + C\bigr),
com constante real e domínio
ou
para manter
definido.
y(x)=\sin\bigl(\ln|x| + C\bigr),
com
Resposta
y(x)=\sin\bigl(\ln|x| + C\bigr)