Determine o comprimento de arco do gráfico da equação dada, de A a B.
(y+1)^2=(x-4)^3 ; A(5,0), B(8,7)

Passo 1

A gente quer achar o comprimento de arco da curva definida por (y+1)^2 = (x-4)^3 de A(5,0) até B(8,7). O conteúdo é comprimento de arco de uma função y = f(x), então vamos usar a fórmula L = integrala^b raiz1 + l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Primeiro a gente isola y. Como em A(5,0) temos y+1=1>0, escolhemos o ramo positivo: y+1 = (x-4)^3/2,ou seja y = (x-4)^3/2 - 1

Passo 3

Agora aplicamos a regra da potência para calcular y' = dydx. Como y = (x-4)^3/2 - 1, temos
y' = 32(x-4)^1/2

Passo 4

Substituímos na fórmula do arco:
L = integral5^8 raiz1 + l(tfrac32(x-4)^1/2r)^2,dx = integral5^8 raiz1 + tfrac94(x-4),dx

Passo 5

A expressão debaixo da raiz fica 1 + tfrac94(x-4) = tfrac9x - 324, então
L = integral5^8 12raiz9x - 32,dx

Passo 6

Para integrar, fazemos a substituição u = 9x - 32, logo du = 9,dx. Quando x=5, u=13; e quando x=8, u=40. Então
L = integralu=13^40 12 raizucdot du9 = 118 integral13^40 u^1/2,du = 118 cdot 23 l[u^3/2r]13^40 = 127l[40^3/2 - 13^3/2r]

Passo 7

Reconhecendo 40^3/2 = 80raiz10 e 13^3/2 = 13raiz13, concluímos o comprimento de arco.

Resposta

L = 80raiz10 - 13raiz1327

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