Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
y=x^2-5 x, y=0; em torno do eixo y.

Passo 1

Estamos estudando o volume gerado pela revolução da região R limitada por y = x² – 5x e y = 0 em torno do eixo y, usando o método das cascas cilíndricas. Para isso, precisaremos achar os pontos de interseção, determinar o raio e a altura de cada casca e depois montar e calcular a integral de volume.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos as curvas:
x^2 - 5x = 0que fatorado dá x(x - 5) = 0. Logo, as interseções ocorrem em x = 0 e x = 5.

Passo 3

Em cada fatia em x, desenhamos uma casca cilíndrica de raio igual à distância até o eixo y, ou seja, raio = x, e altura igual à diferença entre a curva superior (y = 0) e a inferior (y = x² – 5x):
a

Passo 4

O elemento de volume de cada casca é dado por
dV = 2pi times (raio) times (aAssim, o volume total é
V = integral0^5 2pi x(5x - x^2),dx = 2pi integral0^5 (5x^2 - x^3),dx

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
2pi gl[ 5x^33 - x^44 gr]0^5 = 2pi l( 6253 - 6254 r) = 2pi cdot 62512 = 1250pi12 = 625pi6

Resposta

625pi6

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