Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
x^2=4 y, y=4; em torno do eixo x.

Passo 1

Neste exercício, vamos trabalhar com volumes de sólidos de revolução usando o método das cascas cilíndricas. A região R é limitada pela parábola x^2 = 4y e pela reta horizontal y = 4, e o sólido é obtido ao girar R em torno do eixo x. Para resolver, precisamos: entender o método das cascas, esboçar R para identificar limites e expressar x em função de y.

Passo 2

Primeiro, esboçamos a região R: a parábola x^2 = 4y é equivalente a y = tfracx^24, abrindo para cima. O corte superior é y = 4. Para cada y entre 0 e 4, temos
x = pm 2raizy, \u00a0ou seja, a região vai de x=-2raizy até x=2raizy.

Passo 3

Pelo método das cascas cilíndricas com faixas horizontais de espessura dy, cada casca tem:
  • Raio: distância ao eixo x dada por y.
  • Altura: extensão em x, que é
(2raizy) - (-2raizy) = 4raizy
Assim o volume é
V = 2pi integral0^4 (raio)(a

Passo 4

Agora basta calcular a integral:
V = 2pi integral0^4 4y^3/2,dy = 8pi integral0^4 y^3/2,dy = 8pi l[tfrac25y^5/2r]0^4 = tfrac16pi5 cdot 4^5/2 = tfrac16pi5 cdot 32 = tfrac512pi5

Resposta

tfrac512pi5

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