A seguinte tabela incompleta, mostra que no ponto
, as derivadas de mesma ordem de
e
tem os mesmos valores.
2.0
1
2
3
3.0
4.0
Sabendo-se que
e
, o valor faltante da tabela e
a) -6.5
X-8.5
c) -10.5
d) -12.5
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2.0 | 1 | 2 | 3 |
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3.0 | |||
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4.0 | |||
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a) -6.5
X-8.5
c) -10.5
d) -12.5
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma tabela com informações sobre as derivadas da função $ f $ e $ g $ no ponto $ x = 1 $. Nosso objetivo é encontrar o valor que está faltando na tabela. Para isso, vamos usar conceito de derivadas de funções e a regra do produto, já que sabemos que $ U(x) = f(x)g(x) $ e que a quarta derivada de $ U $ em $ x = 1 $ é igual a 6. Vamos precisar entender como derivar produtos de funções e aplicar essas derivadas na tabela para achar o valor perdido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a regra do produto para derivadas. Se temos $ U(x) = f(x)g(x) $, então a derivada de $ U $ é:
E assim sucessivamente para derivadas de ordem superior.
Passo 3
Vamos analisar a tabela. Temos:
- $ f(1) = 2.0 $
- $ f’(1) = 1 $
- $ f’’(1) = 2 $
- $ f’’’(1) = 3 $
Para $ g $:
- $ g’(1) = 3.0 $
- $ g’’(1) = 4.0 $
- $ g’’’(1) = ? $ (este é o valor que precisamos encontrar)
Passo 4
Sabemos que $ U’’’’(1) = 6 $. Vamos calcular a quarta derivada de $ U(x) = f(x)g(x) $ usando as derivadas conhecidas de $ f $ e $ g $ até a terceira ordem.
Passo 5
Calculando as derivadas:
1ª derivada:
2ª derivada:
3ª derivada:
4ª derivada:
Como não temos informações sobre $ f’’’’(1) $ e $ g’’’’(1) $, presumimos que elas sejam zero ou que não impactem o cálculo, focando nos termos que temos dados.
Passo 6
Substituindo os valores conhecidos em $ U’’’’(1) = 6 $:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para $ g’’’(1) $:
Resposta
A opção correta é -19.5, mas como não está nas alternativas, pode ter havido um erro nos cálculos ou na formulação da questão. Verifique os dados fornecidos!