A seguinte tabela incompleta, mostra que no ponto x=1, as derivadas de mesma ordem de f e g tem os mesmos valores.
|c|c|c|c|c| hline & $f$ & $f^prime$ & $f^prime prime$ & $f^prime prime prime$ hline$g$ & 2.0 & 1 & 2 & 3 hline$g^prime$ & & 3.0 & & hline$g^prime prime$ & & & 4.0 & hline$g^prime prime prime$ & & & & $?$ hline U(x)=f(x) g(x) U^prime prime prime prime(1)=6
2.0 1 2 3
3.0
4.0
Sabendo-se que e , o valor faltante da tabela e
a) -6.5
X-8.5
c) -10.5
d) -12.5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma tabela com informações sobre as derivadas da função $ f $ e $ g $ no ponto $ x = 1 $. Nosso objetivo é encontrar o valor que está faltando na tabela. Para isso, vamos usar conceito de derivadas de funções e a regra do produto, já que sabemos que $ U(x) = f(x)g(x) $ e que a quarta derivada de $ U $ em $ x = 1 $ é igual a 6. Vamos precisar entender como derivar produtos de funções e aplicar essas derivadas na tabela para achar o valor perdido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a regra do produto para derivadas. Se temos $ U(x) = f(x)g(x) $, então a derivada de $ U $ é:
U(x) = f(x)g(x)
E assim sucessivamente para derivadas de ordem superior.

Passo 3

Vamos analisar a tabela. Temos:
  • $ f(1) = 2.0 $
  • $ f’(1) = 1 $
  • $ f’’(1) = 2 $
  • $ f’’’(1) = 3 $
Para $ g $:
  • $ g’(1) = 3.0 $
  • $ g’’(1) = 4.0 $
  • $ g’’’(1) = ? $ (este é o valor que precisamos encontrar)

Passo 4

Sabemos que $ U’’’’(1) = 6 $. Vamos calcular a quarta derivada de $ U(x) = f(x)g(x) $ usando as derivadas conhecidas de $ f $ e $ g $ até a terceira ordem.

Passo 5

Calculando as derivadas:
1ª derivada:
U'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
2ª derivada:
U''(x) = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)
3ª derivada:
U'''(x) = f'''(x)g(x) + 3f''(x)g'(x) + 3f'(x)g''(x) + f(x)g'''(x)
4ª derivada:
U''''(x) = f''''(x)g(x) + 4f'''(x)g'(x) + 6f''(x)g''(x) + 4f'(x)g'''(x) + f(x)g''''(x)
Como não temos informações sobre $ f’’’’(1) $ e $ g’’’’(1) $, presumimos que elas sejam zero ou que não impactem o cálculo, focando nos termos que temos dados.

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos em $ U’’’’(1) = 6 $:
U''''(1) = 6
Simplificando:
0 cdot g(1) + 4 cdot f'''(1) cdot g'(1) + 6 cdot f''(1) cdot g''(1) + 4 cdot f'(1) cdot g'''(1) + 0 cdot g''''(1) = 6
4 cdot 3 cdot 3 + 6 cdot 2 cdot 4 + 4 cdot 1 cdot g'''(1) = 6

Passo 7

Resolvendo para $ g’’’(1) $:
g'''(1)
84 + 4g'''(1) = 6
4g'''(1) = 6 - 84
4g'''(1) = -78
g'''(1) = -784

Resposta

A opção correta é -19.5, mas como não está nas alternativas, pode ter havido um erro nos cálculos ou na formulação da questão. Verifique os dados fornecidos!

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