Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas, sendo t in[0,2 pi].
(a) alpha(t)=(a cos t, a sin t).

Passo 1

A curva é alpha(t)=(acos t,asin t) para tin[0,2pi]. O conteúdo aqui é reparametrização pelo comprimento de arco, e vamos precisar usar a definição de comprimento de arco s(t)=integral0^t|alpha'(u)|,du.

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada da curva e o seu módulo:
alpha'(t)=(-asin t,acos t),
portanto o módulo da velocidade é
|alpha'(t)|=raiz(-asin t)^2+(acos t)^2=a

Passo 3

Agora calculamos o comprimento de arco a partir de t=0 até t:
s(t)=integral0^t|alpha'(u)|,du=integral0^t a,du=a t

Passo 4

Invertendo a relação s=a t, temos t=sa. O novo parâmetro s varia de 0 até s(2pi)=2pi a.

Passo 5

Finalmente, substituímos t=sa em alpha(t) para obter a reparametrização por comprimento de arco: alpha(s)=(acossa,asinsa), com sin[0,2pi a].

Resposta

beta(s)=l(acos(tfracsa),,asin(tfracsa)r), sin[0,2pi a].

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