Determine o comprimento de arco das seguintes curvas nos intervalos dados:
x=t^2, y=t sen(t), z=t cos (t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica em R^3 definida por x=t^2, y=tsin t, z=tcos t para 0<= t<=pi. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica em 3D, usando a fórmula L=integrala^braiz(x')^2+(y')^2+(z')^2,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt=2t,
dydt=ddt(tsin t)=sin t+tcos t,
dzdt=ddt(tcos t)=cos t - tsin t

Passo 3

Agora somamos os quadrados das derivadas de y e z:
l(sin t+tcos tr)^2+l(cos t - tsin tr)^2 =sin^2t+cos^2t+t^2(cos^2t+sin^2t)=1+t^2

Passo 4

Logo o integrando do comprimento de arco é
raiz(2t)^2+(1+t^2)=raiz4t^2+1+t^2=raiz5t^2+1
Então
L=integral0^piraiz5t^2+1,dt

Passo 5

Para calcular integralraiz5t^2+1,dt, usamos a primitiva padrão
integralraiza t^2+b,dt=t2raiza t^2+b+b2raizalnl(raiza,t+raiza t^2+br)+C
Aqui a=5 e b=1.

Passo 6

Aplicando os limites de 0 a pi e observando que em t=0 o termo logarítmico anula, obtemos
L=pi2raiz5pi^2+1+12raiz5lnl(raiz5,pi+raiz5pi^2+1r)

Resposta

L=pi2raiz5pi^2+1+12raiz5lnl(raiz5,pi+raiz5pi^2+1r).

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