Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
arg cosech x=ln (1x+raiz1+x^2|x|), x neq 0;

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre funções hiperbólicas inversas usando logaritmos naturais. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma expressão para a função hiperbólica inversa, especificamente a cosecante hiperbólica inversa (denotada por cosech^-1 x), em termos de logaritmos naturais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e como elas se relacionam com os logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica cosecante, que é definida como:
cosech , y = 1sinh y
Onde sinh y é a função hiperbólica seno. Agora, queremos encontrar a função inversa dessa, ou seja, para um dado valor x, encontrar y tal que:
x = cosech , y

Passo 3

Para achar a inversa, começamos resolvendo a equação:
x = 1sinh y
Isso nos leva a:
sinh y = 1x
Agora, sabemos que a função inversa da sinh y é a arsinh ou sinh^-1, mas queremos expressar y em termos de logaritmos naturais.

Passo 4

Lembra que a função hiperbólica seno inversa pode ser expressa usando logaritmos da seguinte forma:
sinh^-1 z = ln ( z + raizz^2 + 1 )
Aplicando isso na nossa equação sinh y = 1x, temos:
y = sinh^-1 ( 1x ) = ln ( 1x + raiz( 1x )^2 + 1 )

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
raiz( 1x )^2 + 1 = raiz 1x^2 + 1 = raiz 1 + x^2x^2 = raiz1 + x^2 |x|
Então, substituindo de volta, temos:
y = ln ( 1x + raiz1 + x^2 |x| )

Resposta

Portanto, a função hiperbólica inversa da cosecante é dada por:
cosech^-1 x = ln ( 1x + raiz1 + x^2 |x| ), x neq 0

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