Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
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Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre funções hiperbólicas inversas usando logaritmos naturais. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma expressão para a função hiperbólica inversa, especificamente a cosecante hiperbólica inversa (denotada por
), em termos de logaritmos naturais. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções hiperbólicas e como elas se relacionam com os logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica cosecante, que é definida como:
Onde
é a função hiperbólica seno. Agora, queremos encontrar a função inversa dessa, ou seja, para um dado valor
, encontrar
tal que:
Passo 3
Para achar a inversa, começamos resolvendo a equação:
Isso nos leva a:
Agora, sabemos que a função inversa da
é a
ou
, mas queremos expressar
em termos de logaritmos naturais.
Passo 4
Lembra que a função hiperbólica seno inversa pode ser expressa usando logaritmos da seguinte forma:
Aplicando isso na nossa equação
, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então, substituindo de volta, temos:
Resposta
Portanto, a função hiperbólica inversa da cosecante é dada por: