Reparametrize a curva r(t)=sen t i+cos t j+(1+2 t) k com relação ao comprimento de arco, medido a partir do ponto (0,1,1) no sentido de t crescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para reparametrizar a curva r(t) = sin t, i + cos t, j + (1 + 2t), k em relação ao comprimento de arco, começando do ponto (0,1,1) e seguindo para valores crescentes de t. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e integração para encontrar o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição r(t) em relação a t, que é r'(t). Isso nos dará a velocidade da curva.
r'(t) = ddt [sin t, i + cos t, j + (1 + 2t), k] = cos t, i - sin t, j + 2, k

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de r'(t), que representa a velocidade escalar da curva. A magnitude é dada por:
|r'(t)| = raiz(cos t)^2 + (-sin t)^2 + (2)^2 = raizcos^2 t + sin^2 t + 4
Sabemos que cos^2 t + sin^2 t = 1, então:
|r'(t)| = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 4

O próximo passo é encontrar o comprimento de arco s em função de t. O comprimento de arco desde o ponto inicial até um ponto t é dado pela integral da magnitude da velocidade:
s(t) = integralt0^t |r'(u)|, du
Aqui, t0 é o valor de t no ponto inicial. Como o ponto inicial é (0,1,1), substituímos t = 0:
s(t) = integral0^t raiz5, du = raiz5 cdot t

Passo 5

Agora, queremos expressar t em função de s. Da equação s = raiz5 cdot t, isolamos t:
t = sraiz5

Passo 6

Finalmente, substituímos t na expressão original da curva r(t) por sraiz5 para obter a reparametrização em termos de s:
R(s) = sin(sraiz5), i + cos(sraiz5), j + (1 + 2 cdot sraiz5), k

Resposta

A reparametrização da curva em termos do comprimento de arco s é:
R(s) = sin(sraiz5), i + cos(sraiz5), j + (1 + 2sraiz5), k

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