Reparametrize a curva
com relação ao comprimento de arco, medido a partir do ponto
no sentido de
crescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para reparametrizar a curva
em relação ao comprimento de arco, começando do ponto
e seguindo para valores crescentes de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e integração para encontrar o comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição
em relação a
, que é
. Isso nos dará a velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de
, que representa a velocidade escalar da curva. A magnitude é dada por:
Sabemos que
, então:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o comprimento de arco
em função de
. O comprimento de arco desde o ponto inicial até um ponto
é dado pela integral da magnitude da velocidade:
Aqui,
é o valor de
no ponto inicial. Como o ponto inicial é
, substituímos
:
Passo 5
Agora, queremos expressar
em função de
. Da equação
, isolamos
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
na expressão original da curva
por
para obter a reparametrização em termos de
:
Resposta
A reparametrização da curva em termos do comprimento de arco
é: