Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as funções hiperbólicas inversas expressas em termos de logaritmos naturais. Isso envolve trabalhar com funções como
e reescrevê-las usando
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das funções hiperbólicas e suas inversas, além de usar propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a função hiperbólica secante é definida por:
Queremos encontrar a função inversa dessa, ou seja, encontrar
em termos de
, onde
.
Passo 3
Começamos substituindo
na expressão da
:
Nosso objetivo é isolar
. Para isso, vamos primeiro inverter os dois lados da equação:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o termo
:
Reescrevendo:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em termos de
. Chamando
, temos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 6
Agora, resolvemos essa equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:
Cancelando o 2 no numerador e denominador:
Passo 7
Como
e
é sempre positivo, escolhemos o sinal positivo:
Passo 8
Finalmente, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para isolar
:
Podemos simplificar a expressão combinando as frações:
Resposta
A função hiperbólica inversa de
em termos de logaritmos naturais é: