Obtenha as funções hiperbólicas inversas em termos de logaritmos naturais.
arg sech x=ln (1+raiz1-x^2x), 0;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as funções hiperbólicas inversas expressas em termos de logaritmos naturais. Isso envolve trabalhar com funções como sech^-1 x e reescrevê-las usando ln. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as definições das funções hiperbólicas e suas inversas, além de usar propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função hiperbólica secante é definida por:
sech,x = 1cosh x = 2e^x + e^-x
Queremos encontrar a função inversa dessa, ou seja, encontrar x em termos de y, onde y = sech,x.

Passo 3

Começamos substituindo y na expressão da sech:
y = 2e^x + e^-x
Nosso objetivo é isolar x. Para isso, vamos primeiro inverter os dois lados da equação:
1y = e^x + e^-x2
Multiplicando ambos os lados por 2:
2y = e^x + e^-x

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por e^x para eliminar o termo e^-x:
e^x cdot 2y = e^2x + 1
Reescrevendo:
e^2x + 1 = 2e^xy

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática em termos de e^x. Chamando z = e^x, temos:
z^2 + 1 = 2zy
Subtraindo 2zy de ambos os lados:
z^2 - 2zy + 1 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos essa equação quadrática para z usando a fórmula de Bhaskara:
z = 2y pm raiz(2y)^2 - 4 cdot 1 cdot 12
Simplificando dentro da raiz:
z = 2y pm raiz4y^2 - 42 = 2y pm 2raiz1 - y^2y2
Cancelando o 2 no numerador e denominador:
z = 1y pm raiz1 - y^2

Passo 7

Como z = e^x e e^x é sempre positivo, escolhemos o sinal positivo:
e^x = 1y + raiz1 - y^2

Passo 8

Finalmente, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para isolar x:
x = ln(1y + raiz1 - y^2)
Podemos simplificar a expressão combinando as frações:
x = ln(1 + raiz1 - y^2y)

Resposta

A função hiperbólica inversa de sech em termos de logaritmos naturais é:
sech^-1 y = ln ( 1 + raiz1 - y^2y ), 0 < y <= 1

Exercícios relacionados