Determine o comprimento dos caminhos abaixo:
sigma:[-1,1] C, sigma(t)=t+t^2 i;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do caminho sigma:[-1,1]toC definido por sigma(t)=t + i,t^2. O conteúdo é comprimento de curva no plano complexo, que se obtém pela integral da norma da derivada |sigma'(t)|.

Passo 2

Para começar, calculamos a derivada de sigma em relação a t:
sigma'(t) = ddtl(t + i,t^2r) = 1 + i,2t
A norma dessa derivada é
|sigma'(t)| = raiz1^2 + (2t)^2 = raiz1 + 4t^2

Passo 3

O comprimento L vem da integral
L = integral-1^1 |sigma'(t)| ,dt = integral-1^1 raiz1 + 4t^2 ,dt
Como o integrando é uma função par, podemos usar simetria:
L = 2 integral0^1 raiz1 + 4t^2 ,dt

Passo 4

Agora precisamos da antiderivada de raiz1+4t^2. Usamos a fórmula padrão:
integral raiz1 + 4t^2 ,dt = t2raiz1 + 4t^2 + 14lnl(2t + raiz1 + 4t^2r) + C
Avaliando de 0 a 1 e multiplicando por 2:

Passo 5

Para t=1 temos
12raiz5 + 14lnl(2 + raiz5r),
e para t=0 ambos os termos são zero. Logo
L = 2l(12raiz5 + 14ln(2 + raiz5)r) = raiz5 + tfrac12ln(2 + raiz5)

Resposta

raiz5 + tfrac12lnl(2 + raiz5r)

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