Mostre que os limites abaixo não existem:
lim z 0 z|z|;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite limzto0z|z| não existe. O conteúdo aqui é limites de funções complexas, e vamos precisar usar o critério de existência de limite no plano: o limite só existe se for o mesmo por todas as direções de aproximação.

Passo 2

Em análise de limites complexos, lembramos que para limzto0f(z) existir, o valor de f(z) ao aproximar z de 0 deve ser o mesmo independente da trajetória seguida no plano.

Passo 3

Vamos aproximar z de 0 ao longo do eixo real positivo, escrevendo z=x com x>0. Então
z|z|=x|x|=xx=1

Passo 4

Agora aproximamos z de 0 ao longo do eixo real negativo, escrevendo z=-x com x>0. Então
z|z|=-x|-x|=-xx=-1

Passo 5

Como ao aproximar por x>0 o valor vai para 1 e por x<0 vai para -1, não há um único valor limite. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite limzto0z|z| não existe.

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