Verifique em quais pontos do domínio a função f abaixo é diferenciável e calcule a derivada de f em cada um deles:
f: C C, f(z)=Re(z)^2-i Im(z)^2;

Passo 1

O enunciado pede para achar onde a função f:CtoC, definida por f(z)=Re(z)^2 - iIm(z)^2, é diferenciável no sentido complexo e qual é sua derivada nesses pontos. Vamos usar condições de Cauchy-Riemann para resolver.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy, temos as partes real e imaginária de f:
u(x,y)=x^2 e v(x,y)=-y^2.

Passo 3

Para que f seja diferenciável em (x,y) no sentido complexo, as derivadas parciais devem satisfazer as condições de Cauchy-Riemann:
ux = vy e uy = -vx, além de serem contínuas.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
ux=2x, uy=0, vx=0 e vy=-2y.

Passo 5

Impondo as condições de Cauchy-Riemann obtemos:
ux = vy 2x = -2y y=-x,
uy = -vx 0=0 (sempre satisfeito).
Logo, a função é diferenciável apenas na reta y=-x, isto é em Im z=-Re z.

Passo 6

Para calcular a derivada complexa nos pontos onde y=-x, usamos
f'(z)=ux + i,vx. Como vx=0, segue
f'(z)=2x.

Passo 7

Podemos ainda expressar f'(z) em termos de z. Na reta y=-x temos z=x - ix = x(1-i), então
x=z1-i e
f'(z)=2x=2z1-i=2(1+i)2z=(1+i)z.

Resposta

A função é diferenciável somente nos pontos em que Im z=-Re z, e nesses pontos
f'(z)=2Re z,
equivalentemente f'(z)=(1+i)z.

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