Verifique em quais pontos do domínio a função
abaixo é diferenciável e calcule a derivada de
em cada um deles:
;
Passo 1
O enunciado pede para achar onde a função
, definida por
, é diferenciável no sentido complexo e qual é sua derivada nesses pontos. Vamos usar condições de Cauchy-Riemann para resolver.
Passo 2
Escrevendo
, temos as partes real e imaginária de
:
e
.
Passo 3
Para que
seja diferenciável em
no sentido complexo, as derivadas parciais devem satisfazer as condições de Cauchy-Riemann:
e
, além de serem contínuas.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
,
,
e
.
Passo 5
Impondo as condições de Cauchy-Riemann obtemos:
dá
⇒
,
dá
(sempre satisfeito).
Logo, a função é diferenciável apenas na reta , isto é em
.
Logo, a função é diferenciável apenas na reta
Passo 6
Para calcular a derivada complexa nos pontos onde
, usamos
. Como
, segue
.
Passo 7
Podemos ainda expressar
em termos de
. Na reta
temos
, então
e
.
Resposta
A função é diferenciável somente nos pontos em que
, e nesses pontos
,
equivalentemente .
equivalentemente