Usando o método da casca ou anel, determine o volume do sólido obtido com a rotação da região em torno dos eixos dados:
A região limitada por y=\sqrt{x}, \quad y=2 e x=0 em torno: do eixo x; do eixo y; da reta y=4; por fim, da reta y=2.
Passo 1
A região dada é limitada por
y=\sqrt{x},\quad y=2,\quad x=0,
ou seja, em termos de x temos 0\le x\le4 (pois \sqrt{x}=2 em x=4) e, para cada x,
\sqrt{x}\le y\le2.
Para calcular volumes de revolução, usamos o método dos discos/aros (quando o eixo de rotação é horizontal e utilizamos integração em x) ou o método das cascas cilíndricas (quando o eixo é vertical e utilizamos integração em x).
Passo 2
Rotação em torno do eixo x – método dos aros:
a cada x\in[0,4] a região gera um aro de raio externo
(a) Em torno do eixo x: 8\pi.
(b) Em torno do eixo y: \tfrac{32\pi}{5}.
(c) Em torno da reta y=4: \tfrac{40\pi}{3}.
(d) Em torno da reta y=2: \tfrac{8\pi}{3}.