Usando o método da casca ou anel, determine o volume do sólido obtido com a rotação da região em torno dos eixos dados:
A região limitada por y=\sqrt{x}, \quad y=2 e x=0 em torno: do eixo x; do eixo y; da reta y=4; por fim, da reta y=2.

Passo 1

A região dada é limitada por
y=\sqrt{x},\quad y=2,\quad x=0,
ou seja, em termos de x temos 0\le x\le4 (pois \sqrt{x}=2 em x=4) e, para cada x,
\sqrt{x}\le y\le2.
Para calcular volumes de revolução, usamos o método dos discos/aros (quando o eixo de rotação é horizontal e utilizamos integração em x) ou o método das cascas cilíndricas (quando o eixo é vertical e utilizamos integração em x).

Passo 2

Rotação em torno do eixo x – método dos aros:
a cada x\in[0,4] a região gera um aro de raio externo
R(x)=2
e de raio interno
r(x)=\sqrt{x}.
O volume é
V=\pi\int_{0}^{4}\bigl[R(x)^2-r(x)^2\bigr]\,dx =\pi\int_{0}^{4}\bigl(4 - x\bigr)\,dx.
Calculando,
\pi\Bigl[4x-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{4} =\pi\bigl(16-8\bigr) =8\pi.

Passo 3

Rotação em torno do eixo y – método das cascas:
cada fatia vertical em x produz uma casca de raio x, altura 2-\sqrt{x} e espessura dx.
V=2\pi\int_{0}^{4}x\bigl(2-\sqrt{x}\bigr)\,dx =2\pi\Bigl[\int_{0}^{4}2x\,dx-\int_{0}^{4}x^{3/2}\,dx\Bigr].
Compute:
\int_{0}^{4}2x\,dx = \bigl[x^2\bigr]_0^4=16, \quad \int_{0}^{4}x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2}\Big|_{0}^{4}=\frac{2}{5}\cdot32=\frac{64}{5},
portanto
V=2\pi\Bigl(16-\tfrac{64}{5}\Bigr) =2\pi\cdot\frac{16\cdot5-64}{5} =2\pi\cdot\frac{16}{5} =\frac{32\pi}{5}.

Passo 4

Rotação em torno da reta y=4 – método dos aros:
para cada x, o aro externo vai de y=\sqrt{x} até y=4, raio
R(x)=4-\sqrt{x},
e o furo interno vai de y=2 até y=4, raio
r(x)=4-2=2.
V=\pi\int_{0}^{4}\bigl[(4-\sqrt{x})^2-2^2\bigr]\,dx =\pi\int_{0}^{4}\bigl(16-8\sqrt{x}+x-4\bigr)\,dx =\pi\int_{0}^{4}\bigl(12-8x^{1/2}+x\bigr)\,dx.
Calculando,
\int_{0}^{4}12\,dx=48, \quad \int_{0}^{4}8x^{1/2}\,dx=8\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}\Big|_{0}^{4} =\frac{16}{3}\cdot8=\frac{128}{3}, \quad \int_{0}^{4}x\,dx=8,
logo
V=\pi\Bigl(48-\tfrac{128}{3}+8\Bigr) =\pi\Bigl(\tfrac{168-128}{3}\Bigr) =\frac{40\pi}{3}.

Passo 5

Rotação em torno da reta y=2 – método dos aros:
o eixo coincide com a fronteira superior da região, logo o aro não tem furo interno. O raio é
R(x)=2-\sqrt{x},
e
V=\pi\int_{0}^{4}\bigl(2-\sqrt{x}\bigr)^2\,dx =\pi\int_{0}^{4}\bigl(4-4\sqrt{x}+x\bigr)\,dx.
\int_{0}^{4}4\,dx=16, \quad \int_{0}^{4}4x^{1/2}\,dx =4\cdot\frac{2}{3}\,8=\frac{64}{3}, \quad \int_{0}^{4}x\,dx=8,
então
V=\pi\Bigl(16-\tfrac{64}{3}+8\Bigr) =\pi\Bigl(\tfrac{72-64}{3}\Bigr) =\frac{8\pi}{3}.

Resposta

(a) Em torno do eixo x: 8\pi.
(b) Em torno do eixo y: \tfrac{32\pi}{5}.
(c) Em torno da reta y=4: \tfrac{40\pi}{3}.
(d) Em torno da reta y=2: \tfrac{8\pi}{3}.

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