Determine o comprimento da curva C parametrizada por r(t).
r(t)=lang<=raiz2 t, e^t, e^-trang<=, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento de arco da curva parametrizada por vec r(t)=lang<=raiz2t,,e^t,,e^-trang<= em 0<= t<=1. O conteúdo é comprimento de curva no espaço, e vamos usar a fórmula L=integrala^b|vec r,'(t)|,dt.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada da parametrização: vec r,'(t)=lang<=ddt(raiz2 t),,ddt(e^t),,ddt(e^-t)rang<==lang<=raiz2,,e^t,,-e^-trang<=.

Passo 3

Em seguida, encontramos o módulo de vec r,'(t):
|vec r,'(t)|=raiz(raiz2)^2+l(e^tr)^2+l(-e^-tr)^2=raiz2+e^2t+e^-2t
Como e^2t+e^-2t=2cosh(2t), temos
2+e^2t+e^-2t=2+2cosh(2t)=4cosh^2(t),
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|vec r,'(t)|=2cosh(t)

Passo 4

Por fim, integramos de 0 a 1:
L=integral0^1|vec r,'(t)|,dt=integral0^1 2cosh(t),dt=2l[sinh(t)r]0^1=2sinh(1)

Resposta

2sinh(1)

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