Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
Passo 1
Estamos com a série
. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar comparação, mais especificamente o teste da comparação no limite, além da fórmula da soma dos quadrados.
Passo 2
Lembrando da fórmula de soma de quadrados:
Substituindo no termo geral, temos
Passo 3
Para
grande,
e
, logo
Isso mostra que
se comporta como o termo de uma p-série com
.
Passo 4
Usamos agora o teste da comparação no limite com a p-série
, que converge porque
. Calculamos o limite:
Como esse limite é um número finito e positivo, ambas séries têm o mesmo comportamento.
Passo 5
Portanto, como a série
converge, a série original também converge pelo teste da comparação no limite.
Resposta
A série converge.