Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
sumn=1^infty 11^2+2^2+3^2+cdots+n^2

Passo 1

Estamos com a série sumn=1^infty11^2+2^2+cdots+n^2. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar comparação, mais especificamente o teste da comparação no limite, além da fórmula da soma dos quadrados.

Passo 2

Lembrando da fórmula de soma de quadrados: 1^2+2^2+cdots+n^2=n(n+1)(2n+1)6 Substituindo no termo geral, temos an=11^2+2^2+cdots+n^2=6n(n+1)(2n+1)

Passo 3

Para n grande, n+1approx n e 2n+1approx2n, logo an=6n(n+1)(2n+1)sim62n^3=3n^3 Isso mostra que an se comporta como o termo de uma p-série com p=3.

Passo 4

Usamos agora o teste da comparação no limite com a p-série sum1/n^3, que converge porque p=3>1. Calculamos o limite: limntoinftyan1/n^3=limntoinfty6/(n(n+1)(2n+1))1/n^3=limntoinfty6n^32n^3+3n^2+n=3 Como esse limite é um número finito e positivo, ambas séries têm o mesmo comportamento.

Passo 5

Portanto, como a série sum1/n^3 converge, a série original também converge pelo teste da comparação no limite.

Resposta

A série converge.

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