Determine o comprimento da curva C parametrizada por r(t).
5 r 5 (t)=lang<= 2 t, ln t, t^2rang<=, 1 <= t <= 4

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva C param. por r(t) = lang<= 2t, ln t, t^2 rang<= para 1 <= t <= 4. Isso envolve comprimento de curva no espaço e vamos precisar de vec r'(t) e do módulo |vec r'(t)| para integrar no intervalo dado.

Passo 2

Calcular a derivada:
vec r'(t) = lang<= 2, 1t, 2t rang<=

Passo 3

Determinar o módulo da derivada:
|vec r'(t)| = raiz4 + 1t^2 + 4t^2
Observe que 4t^2 + 4 + 1t^2 = l(2t + 1tr)^2, então |vec r'(t)| = 2t + 1t para t>0.

Passo 4

Integrar o módulo de vec r'(t) de 1 a 4:
integral1^4 l(2t + 1tr),dt = l[t^2 + ln tr]1^4 = 16 + ln 4 - 1 = 15 + ln 4

Resposta

15 + \ln 4

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