Determine o comprimento da curva
parametrizada por
.
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva em 3D dada por
no intervalo
. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula
precisando calcular a derivada e a sua norma.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada componente a componente. Temos
Usando regra do produto:
Passo 3
Agora calculamos a norma:
Expandindo e vendo que os termos mistos cancelam e
cos^2t+sin^2t=1 , obtemos
logo
$$
\bigl|\vec r,’(t)\bigr|=\sqrt{t^2+10}\n$$.
Passo 4
O comprimento de arco é então
Para resolver usamos a primitiva padrão
com
a=raiz10 .
Passo 5
Aplicando nos limites de
0 a
2pi , obtemos
que dá
Este é o comprimento final da curva.
Resposta
s=\pi\sqrt{4\pi2+10}+5\ln\bigl(2\pi+\sqrt{4\pi2+10}\bigr)-\tfrac{5}{2}\ln(10)