Determine o comprimento da curva C parametrizada por r(t).
r(t)=lang<= t cos t, t sen t, 3 trang<=, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva em 3D dada por vec r(t)=lang<= tcos t,,tsin t,,3trang<= no intervalo 0<= t<=2pi. O conteúdo é comprimento de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula
s=integrala^b l|vec r,'(t)r|,dt
precisando calcular a derivada e a sua norma.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada componente a componente. Temos
vec r,'(t)=llang<=,ddt(tcos t),,ddt(tsin t),,ddt(3t)rrang<=
Usando regra do produto:
vec r,'(t)=lang<=cos t - tsin t,,sin t + tcos t,,3rang<= .

Passo 3

Agora calculamos a norma:
l|vec r,'(t)r|^2=(cos t - tsin t)^2+(sin t + tcos t)^2+3^2
Expandindo e vendo que os termos mistos cancelam e cos^2t+sin^2t=1, obtemos
l|vec r,'(t)r|^2=1+t^2+9=t^2+10
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$$
\bigl|\vec r,’(t)\bigr|=\sqrt{t^2+10}\n$$.

Passo 4

O comprimento de arco é então
s=integral0^2piraizt^2+10,dt
Para resolver usamos a primitiva padrão
integralraizt^2+a^2,dt= t2raizt^2+a^2+a^22lnl(t+raizt^2+a^2r)+C
com a=raiz10.

Passo 5

Aplicando nos limites de 0 a 2pi, obtemos
s=l[ t2raizt^2+10+5lnl(t+raizt^2+10r)r]0^2pi
que dá
s=piraiz4pi^2+10+5lnl(2pi+raiz4pi^2+10r)-52ln(10)
Este é o comprimento final da curva.

Resposta

s=\pi\sqrt{4\pi2+10}+5\ln\bigl(2\pi+\sqrt{4\pi2+10}\bigr)-\tfrac{5}{2}\ln(10)

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