Determine o comprimento da curva C em cada caso:
(b) C é a curva parametrizada r(t)=(sen(t)-t cos (t), t sen(t)+cos (t)) ; t in[0, pi2].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica
boldsymbol r(t)=l(sin(t)-tcos(t),;tsin(t)+cos(t)r), tinl[0,tfracpi2r]
Para isso vamos usar a fórmula do comprimento de arco de curva paramétrica:
L=integrala^bllVert boldsymbol r'(t)rrVert,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas das componentes:
x(t)=sin(t)-tcos(t) ;Longrightarrow; x'(t)=cos(t)-l[cos(t)-tsin(t)r]=tsin(t),
y(t)=tsin(t)+cos(t) ;Longrightarrow; y'(t)=sin(t)+tcos(t)-sin(t)=tcos(t)

Passo 3

A norma do vetor velocidade é
llVert boldsymbol r'(t)rrVert =raizl(tsin(t)r)^2+l(tcos(t)r)^2 =raizt^2l(sin^2(t)+cos^2(t)r) =raizt^2 =t,
pois t>=0 em l[0,tfracpi2r].

Passo 4

Substituindo na integral de comprimento:
L=integral0^pi2t,dt =[t^22]0^pi2 =12!l(tfracpi2r)^2 =pi^28

Resposta

pi^28

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