Sabe-se que a equação da reta tangente a uma curva r(t) em um ponto t0 é dada por l(t)= r(t0)+tr^prime(t0). Determine a reta tangente às curvas abaixo nos pontos indicados.
(b) r(t)=(t e^t, ln (t^3+1)+2 t, 2 t^2+3 t), t=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva r(t) em t0=0. Para isso, vamos calcular o ponto r(0) e a derivada r'(0), e então usar a fórmula
l(u)=r(0)+u,r'(0)

Passo 2

Computar o ponto de tangência:
r(0)=l(0cdot e^0,;ln(0^3+1)+2cdot0,;2cdot0^2+3cdot0r)=(0,0,0)

Passo 3

Determinar r'(t) coordenada a coordenada:
ddt[t e^t]=e^t+t e^t=(t+1)e^t,
ddt[ln(t^3+1)+2t]=3t^2t^3+1+2,
ddt[2t^2+3t]=4t+3
Logo,
r'(t)=l((t+1)e^t,;3t^2t^3+1+2,;4t+3r)

Passo 4

Avaliar em t=0:
r'(0)=l((0+1)e^0,;0+2,;0+3r)=(1,2,3)

Passo 5

Montar a reta tangente:
l(u)=(0,0,0)+u,(1,2,3)=(u,,2u,,3u)

Resposta

l(t)=(t,,2t,,3t)

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