Sabe-se que a equação da reta tangente a uma curva r(t) em um ponto t0 é dada por l(t)= r(t0)+tr^prime(t0). Determine a reta tangente às curvas abaixo nos pontos indicados.
(a) r(t)=(3 sen(t), 3 cos (t), t), t=pi2.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva de espaço dada por
r(t) = l(3sin(t),,3cos(t),,tr)
no ponto correspondente a t0 = tfracpi2.
O conteúdo é cálculo vetorial: vamos usar a fórmula
l(s) = r(t0) + s,r'(t0),
onde s é o parâmetro da reta.

Passo 2

Calcular o ponto de tangência r(t0).
rl(tfracpi2r) = l(3sin(tfracpi2),,3cos(tfracpi2),,tfracpi2r) = (3,,0,,tfracpi2)

Passo 3

Determinar a derivada r'(t) e avaliá-la em t0.
r'(t) = l(3cos(t),,-3sin(t),,1r),
r'l(tfracpi2r) = l(3cos(tfracpi2),,-3sin(tfracpi2),,1r) = (0,,-3,,1)

Passo 4

Montar a equação vetorial da reta tangente usando
l(s)=r(t0)+s,r'(t0):
l(s) = (3,,0,,tfracpi2) + s,(0,,-3,,1)
Em coordenadas paramétricas:
x(s)=3, y(s)=-3s, z(s)=tfracpi2+s

Resposta

l(s) = (3,,0,,tfracpi2) + s,(0,,-3,,1)

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