Encontre a área da região delimitada pelas curvas dadas.
53. y=x e^-0,4 x, y=0, x=5

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x,e^-0,4x,
y = 0 (eixo x), e
x = 5.
O conteúdo é cálculo de área sob a curva usando integral definida.

Passo 2

Para achar onde a curva cruza o eixo x, resolvemos
x,e^-0,4x=0
o que ocorre em x=0. Logo a região está entre x=0 e x=5.

Passo 3

A área A é dada por
A = integral0^5 x,e^-0,4x,dx

Passo 4

Para calcular integral x,e^-0,4x,dx usamos integração por partes. Tomando
u = x, dv = e^-0,4x,dx
temos
du = dx, v = integral e^-0,4x,dx = -10,4,e^-0,4x = -2,5,e^-0,4x
Assim,
integral x,e^-0,4x,dx = u v - integral v,du = -2,5,x,e^-0,4x + 2,5 integral e^-0,4x,dx = -2,5,x,e^-0,4x - 6,25,e^-0,4x
Em forma compacta,
integral x,e^-0,4x,dx = -l(2,5,x + 6,25r),e^-0,4x

Passo 5

Avaliaremos de 0 a 5:
A = [-l(2,5,x + 6,25r),e^-0,4x]0^5 = -l(12,5 + 6,25r)e^-2 - l[-(0 + 6,25),e^0r] = -18,75,e^-2 + 6,25

Resposta

A = 6,25 - 18,75,e^-2 approx 3,712(unidades de área) á

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