Determine o comprimento da curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial $ \mathbf{r}(t) = \cos(t) \mathbf{i} + \operatorname{sen}(t) \mathbf{j} + \ln(\cos(t)) \mathbf{k} $ no intervalo de $ t $ de 0 a $ \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos permite encontrar quanto uma curva “mede” no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva dada por uma função vetorial $ \mathbf{r}(t) $. A fórmula geral para o comprimento $ L $ é:
r(t)
Aqui, $ \mathbf{r}’(t) $ é a derivada da função vetorial em relação a $ t $, e $ |\mathbf{r}’(t)| $ representa o módulo (ou comprimento) desse vetor derivado.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada $ \mathbf{r}’(t) $ da nossa função vetorial:
r'(t)
Derivando cada componente em relação a $ t $:
  • A derivada de $ \cos(t) $ em relação a $ t $ é $ -\operatorname{sen}(t) $.
  • A derivada de $ \operatorname{sen}(t) $ em relação a $ t $ é $ \cos(t) $.
  • Para $ \ln(\cos(t)) $, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} \cdot u’ $. Aqui, $ u = \cos(t) $, então $ u’ = -\operatorname{sen}(t) $. Portanto, a derivada é $ \frac{-\operatorname{sen}(t)}{\cos(t)} $.
Assim, temos:
r(t) = cos(t) i + sen(t) j + ln(cos(t)) k

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo de $ \mathbf{r}’(t) $:
r'(t)
Simplificando cada termo:
|r'(t)| = raiz [ -sen(t) ]^2 + [ cos(t) ]^2 + [ -sen(t)cos(t) ]^2

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Sabemos que $ \operatorname{sen}^2(t) + \cos^2(t) = 1 $. Então:
sen^2(t) + cos^2(t) = 1
Agora, percebemos que $ \frac{\operatorname{sen}2(t)}{\cos2(t)} = \operatorname{tan}^2(t) $. Portanto:
|r'(t)| = raiz 1 + sen^2(t)cos^2(t)

Passo 6

Lembrando da identidade trigonométrica $ 1 + \operatorname{tan}^2(t) = \operatorname{sec}^2(t) $, temos:
1 + tan^2(t) = sec^2(t)
Pois $ \operatorname{sec}(t) $ é sempre positivo no intervalo considerado.

Passo 7

Agora que temos $ |\mathbf{r}’(t)| = \operatorname{sec}(t) $, podemos substituir na fórmula do comprimento da curva:
|r'(t)| = sec(t)

Passo 8

Vamos calcular essa integral. A integral de $ \operatorname{sec}(t) $ em relação a $ t $ é $ \ln|\operatorname{sec}(t) + \operatorname{tan}(t)| + C $. Então:
sec(t)

Passo 9

Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ t = \frac{\pi}{4} $:
t = pi4
Então:
sec(pi4) = raiz2, tan(pi4) = 1
Para $ t = 0 $:
ln( raiz2 + 1 )
Então:
t = 0

Passo 10

Subtraindo os valores:
L = ln( raiz2 + 1 ) - 0 = ln( raiz2 + 1 )

Resposta

O comprimento da curva é $ \ln\left( \sqrt{2} + 1 \right) $.

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