Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial $ \mathbf{r}(t) = \cos(t) \mathbf{i} + \operatorname{sen}(t) \mathbf{j} + \ln(\cos(t)) \mathbf{k} $ no intervalo de $ t $ de 0 a $ \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos permite encontrar quanto uma curva “mede” no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva dada por uma função vetorial $ \mathbf{r}(t) $. A fórmula geral para o comprimento $ L $ é:
Aqui, $ \mathbf{r}’(t) $ é a derivada da função vetorial em relação a $ t $, e $ |\mathbf{r}’(t)| $ representa o módulo (ou comprimento) desse vetor derivado.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada $ \mathbf{r}’(t) $ da nossa função vetorial:
Derivando cada componente em relação a $ t $:
- A derivada de $ \cos(t) $ em relação a $ t $ é $ -\operatorname{sen}(t) $.
- A derivada de $ \operatorname{sen}(t) $ em relação a $ t $ é $ \cos(t) $.
- Para $ \ln(\cos(t)) $, usamos a regra da cadeia: a derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} \cdot u’ $. Aqui, $ u = \cos(t) $, então $ u’ = -\operatorname{sen}(t) $. Portanto, a derivada é $ \frac{-\operatorname{sen}(t)}{\cos(t)} $.
Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo de $ \mathbf{r}’(t) $:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Sabemos que $ \operatorname{sen}^2(t) + \cos^2(t) = 1 $. Então:
Agora, percebemos que $ \frac{\operatorname{sen}2(t)}{\cos2(t)} = \operatorname{tan}^2(t) $. Portanto:
Passo 6
Lembrando da identidade trigonométrica $ 1 + \operatorname{tan}^2(t) = \operatorname{sec}^2(t) $, temos:
Pois $ \operatorname{sec}(t) $ é sempre positivo no intervalo considerado.
Passo 7
Agora que temos $ |\mathbf{r}’(t)| = \operatorname{sec}(t) $, podemos substituir na fórmula do comprimento da curva:
Passo 8
Vamos calcular essa integral. A integral de $ \operatorname{sec}(t) $ em relação a $ t $ é $ \ln|\operatorname{sec}(t) + \operatorname{tan}(t)| + C $. Então:
Passo 9
Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ t = \frac{\pi}{4} $:
Então:
Para $ t = 0 $:
Então:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Resposta
O comprimento da curva é $ \ln\left( \sqrt{2} + 1 \right) $.