Determine o comprimento da curva dada:
(a) r(t)=(t, 3 cos t, 3 sin t),-5 <= t <= 5.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica r(t)=(t,3cos t,3sin t) para -5<= t<=5 e pede o comprimento dessa curva. O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de uma curva dada por vetor função, que usa a norma da derivada.

Passo 2

A fórmula geral para o comprimento L de r(t) no intervalo [a,b] é
L = integrala^b |r,'(t)|,dt

Passo 3

Vamos achar a derivada de cada componente:
r,'(t) = l(1,,-3sin t,;3cos tr)

Passo 4

Calculamos a norma:
|r,'(t)| = raiz1^2 + (-3sin t)^2 + (3cos t)^2 = raiz1 + 9sin^2 t + 9cos^2 t = raiz1 + 9 = raiz10
Repare que deu constante, então a integral fica trivial.

Passo 5

Substituindo em L:
L = integral-5^5 raiz10,dt = raiz10,l[tr]-5^5 = raiz10,(5 - (-5)) = 10raiz10

Resposta

10raiz10

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